시간제한과 대역폭

시간 영역에서 범위가 제한되어 있는 rect 함수는 푸리에 변환 결과가 대역폭이 무한히 넓은 sinc 함수로 나타난다. 그렇다면 모든 시간제한된 신호는 무한한 대역폭을 가질까? 위키피디아의 Bandlimiting 문서에서 답을 알 수 있다. 아래는 이 문서를 해석한 것이다.

어떤 신호 $f(t)$가 시간제한된 신호이면서 동시에 대역폭이 유한, 즉 $\mathcal{F}\{f(t)\}=F_1(f)$이의 폭이 유한하다고 하자. 그리고 $f(t)$를 나이퀴스트 주파수보다 큰 $f_s$의 주파수로 샘플링하고 DTFT한 결과를 $F_2(f)$이라 하자.

그러면 $F_2(f)$은 $F_1(f)$이 $f_s$ 단위로 반복되는 스펙트럼이 $nf_s$를 중심으로 하여 반복해서 나타나는 게 될 것이다.

한편 $F_1(f)$의 폭이 유한하다고 하였으므로, 그 유한한 폭 바깥으로는 $F_1(f)=0$이다. 즉 그 폭 바깥의 주파수들은 $F_1(f)=0$이라는 방정식의 해인 것이다.

이러한 형태가 $F_2(f)$에서 주기적으로 나타나므로, $F_2(f)$에서도 특정 구간의 $f$에 대해서 $F_2(f)=0$일 것이다.

그런데, $f(t)$가 시간제한되어 있으므로 이를 샘플링해서 DTFT할 때 사용되는 지점들의 수는 유한하다. 그리고 DTFT는 각 지점들과 $e^{-j2\pi fn}$의 곱들의 합이다.

따라서, $F_2(f)$는 유한한 수의 $e^{-j2\pi fn}$들의 합인 것이다. 여기에 오일러 공식을 적용하면 결국 $f_2(f)$는 $(\text{코사인 함수들의 합})+j(\text{사인 함수들의 합})$이다.

그런데 $F_2(f)=(\text{코사인 함수들의 합})+j(\text{사인 함수들의 합})=0$을 만족하는 $f$들, 즉 이 삼각방정식의 해들은 연속적이지 않을 것 같다. 다시 말해서 $F_2(f)$가 계속 $0$인 구간은 존재할 수 없다.

이는 위에서 ”$F_2(f)$에서도 특정 구간의 $f$에 대해서 $F_2(f)=0$일 것이다.”라고 언급한 것과 모순이다.

과정에는 문제가 없는데 결론이 이상하면 의심할 곳은 시작지점밖에 없다. 즉 “어떤 신호 $f(t)$가 시간제한된 신호이면서 동시에 대역폭이 유한하다”라고 가정하고 시작한 것이 문제이다.

따라서 $f(t)$가 시간제한되면서 동시에 대역폭이 유한할 수는 없다.

이 결과는 불확정성 원리와도 연결된다고 한다.