이 글은 페루의 Instituto Nacional de Investigación Y Capacitación de Telecomunicaciones 소속의 Ramon Vargas-Patron 교수의 글(클릭시 이동) 을 번역한 것이다.
BJT를 사용한 위상 천이 발진기에 대해서 분석해보자. 이런 종류의 발진기는 수 Hz에서 100 kHz 정도까지의 사인파를 만들어내는 데 흔히 사용된다고 한다. 회로는 다음과 같다.
A L ( s ) = I b I b ′ A_L(s)=\frac{I_b}{I_b'} A L ( s ) = I b ′ I b 여기서 I b ′ I_b' I b ′ I b I_b I b
위 회로의 등가 회로는 다음과 같다.
− h f e I b ′ = V C R c + s C ( V C − V 1 ) ⋯ 노드 C 0 = V 1 R + s C ( V 1 − V C ) + s C ( V 1 − V 2 ) ⋯ 노드 1 0 = V 2 R + s C ( V 2 − V 1 ) + s C ( V 2 − V B ) ⋯ 노드 2 0 = V B R + s C ( V B − V 2 ) ⋯ 노드 B \begin{equation}
\begin{split}
-h_{fe}I_b'&=\frac{V_C}{R_c}+sC(V_C-V_1)\cdots \text{노드 C}\\
0&=\frac{V_1}{R}+sC(V_1-V_C)+sC(V_1-V_2)\cdots \text{노드 1}\\
0&=\frac{V_2}{R}+sC(V_2-V_1)+sC(V_2-V_B)\cdots \text{노드 2}\\
0&=\frac{V_B}{R}+sC(V_B-V_2)\cdots \text{노드 B}
\end{split}
\end{equation} − h f e I b ′ 0 0 0 = R c V C + s C ( V C − V 1 ) ⋯ 노드 C = R V 1 + s C ( V 1 − V C ) + s C ( V 1 − V 2 ) ⋯ 노드 1 = R V 2 + s C ( V 2 − V 1 ) + s C ( V 2 − V B ) ⋯ 노드 2 = R V B + s C ( V B − V 2 ) ⋯ 노드 B 여기서
R ′ + h i e ∣ ∣ R b = R ⇒ I b = V B R R'+h_{ie}||R_b=R \Rightarrow I_b=\frac{V_B}{R} R ′ + h i e ∣∣ R b = R ⇒ I b = R V B 그리고 R b ≫ h i e R_b\gg h_{ie} R b ≫ h i e R ′ , R b R',R_b R ′ , R b
V B V_B V B
V B = V 2 ( R 1 s C + R ) ⇒ V B = V 2 ( s R C 1 + s R C ) ⇒ V 2 = V B ( 1 s R C + 1 ) V_B=V_2\left(\frac{R}{\frac{1}{sC}+R} \right) \Rightarrow V_B=V_2\left(\frac{sRC}{1+sRC} \right) \Rightarrow V_2=V_B\left(\frac{1}{sRC}+1 \right) V B = V 2 ( s C 1 + R R ) ⇒ V B = V 2 ( 1 + s R C s R C ) ⇒ V 2 = V B ( s R C 1 + 1 ) 이를 노드 2에 대한 식에 대입해서 정리하자.
0 = V B ⋅ 1 R ( 1 s R C + 1 ) + 2 s C V B ( 1 s R C + 1 ) − s C V 1 − s C V B ⇒ 0 = V B ( 1 s R C + 3 + 2 s R C − s R C ) − s R C V 1 ⇒ V 1 = V B ( 1 s 2 R 2 C 2 + 3 s R C + 1 ) \begin{equation}
\begin{split}
0&=V_B\cdot\frac{1}{R}\left(\frac{1}{sRC}+1\right)+2sCV_B\left(\frac{1}{sRC}+1\right)-sCV_1-sCV_B\\
\Rightarrow 0&=V_B\left(\frac{1}{sRC}+3+2sRC-sRC \right)-sRCV_1\\
\Rightarrow V_1&=V_B\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{3}{sRC}+1 \right)
\end{split}
\end{equation} 0 ⇒ 0 ⇒ V 1 = V B ⋅ R 1 ( s R C 1 + 1 ) + 2 s C V B ( s R C 1 + 1 ) − s C V 1 − s C V B = V B ( s R C 1 + 3 + 2 s R C − s R C ) − s R C V 1 = V B ( s 2 R 2 C 2 1 + s R C 3 + 1 ) 위 V 1 , V 2 V_1,V_2 V 1 , V 2
0 = V B ⋅ 1 R ( 1 s 2 R 2 C 2 + 3 s R C + 1 ) + 2 s C V B ( 1 s 2 R 2 C 2 + 3 s R C + 1 ) − s C V C − s C V B ( 1 s R C + 1 ) ⇒ 0 = V B ( 1 s 2 R 2 C 2 + 3 s R C + 1 + 2 s R C + 6 + 2 s R C − 1 − s R C ) − s R C V C ⇒ s R C V C = V B ( 1 s 2 R 2 C 2 + 5 s R C + 6 + s R C ) ⇒ V C = V B ( 1 s 3 R 3 C 3 + 5 s 2 R 2 C 2 + 6 s R C + 1 ) \begin{equation}
\begin{split}
0&=V_B\cdot\frac{1}{R}\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{3}{sRC}+1 \right)+2sCV_B\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{3}{sRC}+1 \right)-sCV_C-sCV_B\left(\frac{1}{sRC}+1 \right)\\
\Rightarrow 0&=V_B\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{3}{sRC}+1+\frac{2}{sRC}+6+2sRC-1-sRC \right)-sRCV_C\\
\Rightarrow sRCV_C&=V_B\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{5}{sRC}+6+sRC \right)\\
\Rightarrow V_C&=V_B\left(\frac{1}{s^3R^3C^3}+\frac{5}{s^2R^2C^2}+\frac{6}{sRC}+1 \right)
\end{split}
\end{equation} 0 ⇒ 0 ⇒ s R C V C ⇒ V C = V B ⋅ R 1 ( s 2 R 2 C 2 1 + s R C 3 + 1 ) + 2 s C V B ( s 2 R 2 C 2 1 + s R C 3 + 1 ) − s C V C − s C V B ( s R C 1 + 1 ) = V B ( s 2 R 2 C 2 1 + s R C 3 + 1 + s R C 2 + 6 + 2 s R C − 1 − s R C ) − s R C V C = V B ( s 2 R 2 C 2 1 + s R C 5 + 6 + s R C ) = V B ( s 3 R 3 C 3 1 + s 2 R 2 C 2 5 + s R C 6 + 1 ) 마지막으로 노드 C에 위 결과들을 대입해서 정리하자.
− h f e I b ′ = V B ⋅ 1 R C ( 1 s 3 R 3 C 3 + 5 s 2 R 2 C 2 + 6 s R C + 1 ) + s C V B ( 1 s 3 R 3 C 3 + 5 s 2 R 2 C 2 + 6 s R C + 1 ) − s C V B ( 1 s 2 R 2 C 2 + 3 s R C + 1 ) ⇒ − h f e I b ′ = V B ( 1 s 3 R 3 C 3 R C + 5 s 2 R 2 C 2 R C + 6 s R C R C + 1 R C + 1 s 2 R 3 C 2 + 5 s R 2 C + 6 R + s C − 1 s R 2 C − 3 R − s C ) = V B R ( 1 s 3 R 2 C 3 R C + 5 s 2 R C 2 R C + 6 s C R C + R R C + 1 s 2 R 2 C 2 + 4 s R C + 3 ) = I b ( 1 s 3 R 2 C 3 R C + 5 s 2 R C 2 R C + 6 s C R C + R R C + 1 s 2 R 2 C 2 + 4 s R C + 3 ) \begin{equation}
\begin{split}
-h_{fe}I_b'&=V_B\cdot\frac{1}{R_C}\left(\frac{1}{s^3R^3C^3}+\frac{5}{s^2R^2C^2}+\frac{6}{sRC}+1 \right)+sCV_B\left(\frac{1}{s^3R^3C^3}+\frac{5}{s^2R^2C^2}+\frac{6}{sRC}+1 \right)-sCV_B\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{3}{sRC}+1 \right)\\
\Rightarrow -h_{fe}I_b'&=V_B\left(\frac{1}{s^3R^3C^3R_C}+\frac{5}{s^2R^2C^2R_C}+\frac{6}{sRCR_C}+\frac{1}{R_C}+\frac{1}{s^2R^3C^2}+\frac{5}{sR^2C}+\frac{6}{R}+sC-\frac{1}{sR^2C}-\frac{3}{R}-sC \right)\\
&=\frac{V_B}{R}\left(\frac{1}{s^3R^2C^3R_C}+\frac{5}{s^2RC^2R_C}+\frac{6}{sCR_C}+\frac{R}{R_C}+\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{4}{sRC}+3 \right)\\
&=I_b\left(\frac{1}{s^3R^2C^3R_C}+\frac{5}{s^2RC^2R_C}+\frac{6}{sCR_C}+\frac{R}{R_C}+\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{4}{sRC}+3 \right)
\end{split}
\end{equation} − h f e I b ′ ⇒ − h f e I b ′ = V B ⋅ R C 1 ( s 3 R 3 C 3 1 + s 2 R 2 C 2 5 + s R C 6 + 1 ) + s C V B ( s 3 R 3 C 3 1 + s 2 R 2 C 2 5 + s R C 6 + 1 ) − s C V B ( s 2 R 2 C 2 1 + s R C 3 + 1 ) = V B ( s 3 R 3 C 3 R C 1 + s 2 R 2 C 2 R C 5 + s R C R C 6 + R C 1 + s 2 R 3 C 2 1 + s R 2 C 5 + R 6 + s C − s R 2 C 1 − R 3 − s C ) = R V B ( s 3 R 2 C 3 R C 1 + s 2 R C 2 R C 5 + s C R C 6 + R C R + s 2 R 2 C 2 1 + s R C 4 + 3 ) = I b ( s 3 R 2 C 3 R C 1 + s 2 R C 2 R C 5 + s C R C 6 + R C R + s 2 R 2 C 2 1 + s R C 4 + 3 ) 위에서 I b = V B R I_b=\frac{V_B}{R} I b = R V B
R b ≫ h i e R_b\gg h_{ie} R b ≫ h i e A L ( s ) = 1 A_L(s)=1 A L ( s ) = 1 s = j ω 0 s=j\omega_0 s = j ω 0
− h f e = ( j 1 ω 0 3 R 2 C 3 R C − 5 ω 0 2 R C 2 R C − j 6 ω 0 C R C + R R C − 1 ω 0 2 R 2 C 2 − j 4 ω 0 R C + 3 ) ⋯ ( ∗ ) -h_{fe}=\left(j\frac{1}{\omega_0^3R^2C^3R_C}-\frac{5}{\omega_0^2RC^2R_C}-j\frac{6}{\omega_0CR_C}+\frac{R}{R_C}-\frac{1}{\omega_0^2R^2C^2}-j\frac{4}{\omega_0RC}+3 \right) \cdots (*) − h f e = ( j ω 0 3 R 2 C 3 R C 1 − ω 0 2 R C 2 R C 5 − j ω 0 C R C 6 + R C R − ω 0 2 R 2 C 2 1 − j ω 0 R C 4 + 3 ) ⋯ ( ∗ ) 이 된다. 좌변 − h f e -h_{fe} − h f e 0 0 0
0 = 1 ω 0 3 R 2 C 3 R C − 6 ω 0 C R C − 4 ω 0 R C ⇒ 0 = 1 R 2 C 3 R C − ω 0 2 6 C R C − ω 0 2 4 R C ⇒ 0 = 1 − ω 0 2 ⋅ 6 R 2 C 2 − ω 0 2 ⋅ 4 R C 2 R C ⇒ ω 0 2 = 1 6 R 2 C 2 + 4 R C 2 R C = 1 R 2 C 2 ( 6 + 4 R C R ) ⇒ ω 0 = 1 R C 6 + 4 R C R \begin{equation}
\begin{split}
0&=\frac{1}{\omega_0^3R^2C^3R_C}-\frac{6}{\omega_0CR_C}-\frac{4}{\omega_0RC} \\
\Rightarrow 0&=\frac{1}{R^2C^3R_C}-\omega_0^2\frac{6}{CR_C}-\omega_0^2\frac{4}{RC}\\
\Rightarrow 0&=1-\omega_0^2\cdot 6R^2C^2-\omega_0^2\cdot 4RC^2R_C\\
\Rightarrow \omega_0^2&=\frac{1}{6R^2C^2+4RC^2R_C}\\
&=\frac{1}{R^2C^2\left(6+\frac{4R_C}{R}\right)}\\
\Rightarrow \omega_0&=\frac{1}{RC\sqrt{6+\frac{4R_C}{R}}}
\end{split}
\end{equation} 0 ⇒ 0 ⇒ 0 ⇒ ω 0 2 ⇒ ω 0 = ω 0 3 R 2 C 3 R C 1 − ω 0 C R C 6 − ω 0 R C 4 = R 2 C 3 R C 1 − ω 0 2 C R C 6 − ω 0 2 R C 4 = 1 − ω 0 2 ⋅ 6 R 2 C 2 − ω 0 2 ⋅ 4 R C 2 R C = 6 R 2 C 2 + 4 R C 2 R C 1 = R 2 C 2 ( 6 + R 4 R C ) 1 = R C 6 + R 4 R C 1 R C R ≪ 1 \frac{R_C}{R}\ll 1 R R C ≪ 1
ω 0 = 2 π f 0 = 1 R C 6 \omega_0=2\pi f_0=\frac{1}{RC\sqrt{6}} ω 0 = 2 π f 0 = R C 6 1 즉
f 0 = 1 2 π 6 R C f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{6}RC} f 0 = 2 π 6 R C 1 라는 익숙한 식이 나온다.
여기서 끝은 아니다. − h f e -h_{fe} − h f e ( ∗ ) (*) ( ∗ ) h f e h_{fe} h f e
− h f e = − 5 ω 0 2 R C 2 R C + R R C − 1 ω 0 2 R 2 C 2 + 3 = − 5 ⋅ R 2 C 2 ( 6 + 4 R C R ) R C 2 R C + R R C − R 2 C 2 ( 6 + 4 R C R ) R 2 C 2 + 3 = − 30 R R C − 20 + R R C − 6 − 4 R C R + 3 = − 29 R R C − 23 − 4 R C R ∴ h f e = 29 R R C + 23 + 4 R C R \begin{equation}
\begin{split}
-h_{fe}&=-\frac{5}{\omega_0^2RC^2R_C}+\frac{R}{R_C}-\frac{1}{\omega_0^2R^2C^2}+3\\
&=-5\cdot\frac{R^2C^2\left(6+\frac{4R_C}{R}\right)}{RC^2R_C}+\frac{R}{R_C}-\frac{R^2C^2\left(6+\frac{4R_C}{R}\right)}{R^2C^2}+3\\
&=-30\frac{R}{R_C}-20+\frac{R}{R_C}-6-\frac{4R_C}{R}+3\\
&=-29\frac{R}{R_C}-23-4\frac{R_C}{R}\\
\therefore h_{fe}&=29\frac{R}{R_C}+23+4\frac{R_C}{R}
\end{split}
\end{equation} − h f e ∴ h f e = − ω 0 2 R C 2 R C 5 + R C R − ω 0 2 R 2 C 2 1 + 3 = − 5 ⋅ R C 2 R C R 2 C 2 ( 6 + R 4 R C ) + R C R − R 2 C 2 R 2 C 2 ( 6 + R 4 R C ) + 3 = − 30 R C R − 20 + R C R − 6 − R 4 R C + 3 = − 29 R C R − 23 − 4 R R C = 29 R C R + 23 + 4 R R C h f e h_{fe} h f e
h f e = 29 R R C + 23 + 4 R C R ≥ 23 + 2 29 R R C × 4 R C R = 23 + 2 116 ≈ 44.5 \begin{equation}
\begin{split}
h_{fe}&=29\frac{R}{R_C}+23+4\frac{R_C}{R}\\
&\ge 23+2\sqrt{29\frac{R}{R_C}\times4\frac{R_C}{R} }\\
&=23+2\sqrt{116}\\
&\approx 44.5
\end{split}
\end{equation} h f e = 29 R C R + 23 + 4 R R C ≥ 23 + 2 29 R C R × 4 R R C = 23 + 2 116 ≈ 44.5 이고 등호는
29 R R C = 4 R C R ⇒ R R C ≈ 0.37 29\frac{R}{R_C}=4\frac{R_C}{R} \Rightarrow \frac{R}{R_C}\approx 0.37 29 R C R = 4 R R C ⇒ R C R ≈ 0.37 일 때 성립한다. 위에서 발진주파수를 구할 때 R C R ≪ 1 ⇔ R R C ≫ 1 \frac{R_C}{R}\ll 1\Leftrightarrow \frac{R}{R_C}\gg 1 R R C ≪ 1 ⇔ R C R ≫ 1 R R C ≫ 0.37 \frac{R}{R_C}\gg 0.37 R C R ≫ 0.37
커패시터의 리액턴스와 저항의 비율은 어떻게 될까? 다음과 같이 구할 수 있다.
ω 0 = 1 6 R C ⇒ 6 R = 1 ω 0 C \omega_0=\frac{1}{\sqrt{6}RC}\Rightarrow \sqrt{6}R=\frac{1}{\omega_0 C} ω 0 = 6 R C 1 ⇒ 6 R = ω 0 C 1 우변이 커패시터의 리액턴스이므로
R : X C = 1 : 6 R:X_C=1:\sqrt{6} R : X C = 1 : 6 이다.
BJT는 전류 증폭기이기 때문에 전류 증폭률을 생각하는 게 편리하다. 다음과 같이 정의하자.
각 노드들에 대해 KCL을 적용하자.
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