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위상 천이 발진기

이 글은 페루의 Instituto Nacional de Investigación Y Capacitación de Telecomunicaciones 소속의 Ramon Vargas-Patron 교수의 글(클릭시 이동)을 번역한 것이다.

BJT를 사용한 위상 천이 발진기에 대해서 분석해보자. 이런 종류의 발진기는 수 Hz에서 100 kHz 정도까지의 사인파를 만들어내는 데 흔히 사용된다고 한다. 회로는 다음과 같다. BJT는 전류 증폭기이기 때문에 전류 증폭률을 생각하는 게 편리하다. 다음과 같이 정의하자.

AL(s)=IbIb′A_L(s)=\frac{I_b}{I_b'}

여기서 Ib′I_b'은 BJT의 베이스로 들어가는 전류이고 IbI_b는 피드백되어 오는 전류이다.

위 회로의 등가 회로는 다음과 같다. 각 노드들에 대해 KCL을 적용하자.

−hfeIb′=VCRc+sC(VC−V1)⋯노드 C0=V1R+sC(V1−VC)+sC(V1−V2)⋯노드 10=V2R+sC(V2−V1)+sC(V2−VB)⋯노드 20=VBR+sC(VB−V2)⋯노드 B\begin{equation} \begin{split} -h_{fe}I_b'&=\frac{V_C}{R_c}+sC(V_C-V_1)\cdots \text{노드 C}\\ 0&=\frac{V_1}{R}+sC(V_1-V_C)+sC(V_1-V_2)\cdots \text{노드 1}\\ 0&=\frac{V_2}{R}+sC(V_2-V_1)+sC(V_2-V_B)\cdots \text{노드 2}\\ 0&=\frac{V_B}{R}+sC(V_B-V_2)\cdots \text{노드 B} \end{split} \end{equation}

여기서

R′+hie∣∣Rb=R⇒Ib=VBRR'+h_{ie}||R_b=R \Rightarrow I_b=\frac{V_B}{R}

그리고 Rb≫hieR_b\gg h_{ie}이 되게 R′,RbR',R_b를 정하였다.

VBV_B에 대한 식에서 다음을 구할 수 있다.(간단히 생각하면 그냥 전압 분배이다.)

VB=V2(R1sC+R)⇒VB=V2(sRC1+sRC)⇒V2=VB(1sRC+1)V_B=V_2\left(\frac{R}{\frac{1}{sC}+R} \right) \Rightarrow V_B=V_2\left(\frac{sRC}{1+sRC} \right) \Rightarrow V_2=V_B\left(\frac{1}{sRC}+1 \right)

이를 노드 2에 대한 식에 대입해서 정리하자.

0=VB⋅1R(1sRC+1)+2sCVB(1sRC+1)−sCV1−sCVB⇒0=VB(1sRC+3+2sRC−sRC)−sRCV1⇒V1=VB(1s2R2C2+3sRC+1)\begin{equation} \begin{split} 0&=V_B\cdot\frac{1}{R}\left(\frac{1}{sRC}+1\right)+2sCV_B\left(\frac{1}{sRC}+1\right)-sCV_1-sCV_B\\ \Rightarrow 0&=V_B\left(\frac{1}{sRC}+3+2sRC-sRC \right)-sRCV_1\\ \Rightarrow V_1&=V_B\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{3}{sRC}+1 \right) \end{split} \end{equation}

위 V1,V2V_1,V_2를 노드 1에 대한 식에 대입해서 정리하자.

0=VB⋅1R(1s2R2C2+3sRC+1)+2sCVB(1s2R2C2+3sRC+1)−sCVC−sCVB(1sRC+1)⇒0=VB(1s2R2C2+3sRC+1+2sRC+6+2sRC−1−sRC)−sRCVC⇒sRCVC=VB(1s2R2C2+5sRC+6+sRC)⇒VC=VB(1s3R3C3+5s2R2C2+6sRC+1)\begin{equation} \begin{split} 0&=V_B\cdot\frac{1}{R}\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{3}{sRC}+1 \right)+2sCV_B\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{3}{sRC}+1 \right)-sCV_C-sCV_B\left(\frac{1}{sRC}+1 \right)\\ \Rightarrow 0&=V_B\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{3}{sRC}+1+\frac{2}{sRC}+6+2sRC-1-sRC \right)-sRCV_C\\ \Rightarrow sRCV_C&=V_B\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{5}{sRC}+6+sRC \right)\\ \Rightarrow V_C&=V_B\left(\frac{1}{s^3R^3C^3}+\frac{5}{s^2R^2C^2}+\frac{6}{sRC}+1 \right) \end{split} \end{equation}

마지막으로 노드 C에 위 결과들을 대입해서 정리하자.

−hfeIb′=VB⋅1RC(1s3R3C3+5s2R2C2+6sRC+1)+sCVB(1s3R3C3+5s2R2C2+6sRC+1)−sCVB(1s2R2C2+3sRC+1)⇒−hfeIb′=VB(1s3R3C3RC+5s2R2C2RC+6sRCRC+1RC+1s2R3C2+5sR2C+6R+sC−1sR2C−3R−sC)=VBR(1s3R2C3RC+5s2RC2RC+6sCRC+RRC+1s2R2C2+4sRC+3)=Ib(1s3R2C3RC+5s2RC2RC+6sCRC+RRC+1s2R2C2+4sRC+3)\begin{equation} \begin{split} -h_{fe}I_b'&=V_B\cdot\frac{1}{R_C}\left(\frac{1}{s^3R^3C^3}+\frac{5}{s^2R^2C^2}+\frac{6}{sRC}+1 \right)+sCV_B\left(\frac{1}{s^3R^3C^3}+\frac{5}{s^2R^2C^2}+\frac{6}{sRC}+1 \right)-sCV_B\left(\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{3}{sRC}+1 \right)\\ \Rightarrow -h_{fe}I_b'&=V_B\left(\frac{1}{s^3R^3C^3R_C}+\frac{5}{s^2R^2C^2R_C}+\frac{6}{sRCR_C}+\frac{1}{R_C}+\frac{1}{s^2R^3C^2}+\frac{5}{sR^2C}+\frac{6}{R}+sC-\frac{1}{sR^2C}-\frac{3}{R}-sC \right)\\ &=\frac{V_B}{R}\left(\frac{1}{s^3R^2C^3R_C}+\frac{5}{s^2RC^2R_C}+\frac{6}{sCR_C}+\frac{R}{R_C}+\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{4}{sRC}+3 \right)\\ &=I_b\left(\frac{1}{s^3R^2C^3R_C}+\frac{5}{s^2RC^2R_C}+\frac{6}{sCR_C}+\frac{R}{R_C}+\frac{1}{s^2R^2C^2}+\frac{4}{sRC}+3 \right) \end{split} \end{equation}

위에서 Ib=VBRI_b=\frac{V_B}{R}임을 이용하였다.

Rb≫hieR_b\gg h_{ie}가 되게 저항을 정했으므로 AL(s)=1A_L(s)=1임과 s=jω0s=j\omega_0을 대입하면

−hfe=(j1ω03R2C3RC−5ω02RC2RC−j6ω0CRC+RRC−1ω02R2C2−j4ω0RC+3)⋯(∗)-h_{fe}=\left(j\frac{1}{\omega_0^3R^2C^3R_C}-\frac{5}{\omega_0^2RC^2R_C}-j\frac{6}{\omega_0CR_C}+\frac{R}{R_C}-\frac{1}{\omega_0^2R^2C^2}-j\frac{4}{\omega_0RC}+3 \right) \cdots (*)

이 된다. 좌변 −hfe-h_{fe}은 실수이므로 복소수의 상등에 의해 위 식의 허수부는 00이 되어야 한다. 즉

0=1ω03R2C3RC−6ω0CRC−4ω0RC⇒0=1R2C3RC−ω026CRC−ω024RC⇒0=1−ω02⋅6R2C2−ω02⋅4RC2RC⇒ω02=16R2C2+4RC2RC=1R2C2(6+4RCR)⇒ω0=1RC6+4RCR\begin{equation} \begin{split} 0&=\frac{1}{\omega_0^3R^2C^3R_C}-\frac{6}{\omega_0CR_C}-\frac{4}{\omega_0RC} \\ \Rightarrow 0&=\frac{1}{R^2C^3R_C}-\omega_0^2\frac{6}{CR_C}-\omega_0^2\frac{4}{RC}\\ \Rightarrow 0&=1-\omega_0^2\cdot 6R^2C^2-\omega_0^2\cdot 4RC^2R_C\\ \Rightarrow \omega_0^2&=\frac{1}{6R^2C^2+4RC^2R_C}\\ &=\frac{1}{R^2C^2\left(6+\frac{4R_C}{R}\right)}\\ \Rightarrow \omega_0&=\frac{1}{RC\sqrt{6+\frac{4R_C}{R}}} \end{split} \end{equation}

RCR≪1\frac{R_C}{R}\ll 1이라고 가정하면 최종적으로

ω0=2πf0=1RC6\omega_0=2\pi f_0=\frac{1}{RC\sqrt{6}}

즉

f0=12π6RCf_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{6}RC}

라는 익숙한 식이 나온다.

여기서 끝은 아니다. −hfe-h_{fe}는 식 (∗)(*)의 실수부임을 이용해서 hfeh_{fe}를 구하자.

−hfe=−5ω02RC2RC+RRC−1ω02R2C2+3=−5⋅R2C2(6+4RCR)RC2RC+RRC−R2C2(6+4RCR)R2C2+3=−30RRC−20+RRC−6−4RCR+3=−29RRC−23−4RCR∴hfe=29RRC+23+4RCR\begin{equation} \begin{split} -h_{fe}&=-\frac{5}{\omega_0^2RC^2R_C}+\frac{R}{R_C}-\frac{1}{\omega_0^2R^2C^2}+3\\ &=-5\cdot\frac{R^2C^2\left(6+\frac{4R_C}{R}\right)}{RC^2R_C}+\frac{R}{R_C}-\frac{R^2C^2\left(6+\frac{4R_C}{R}\right)}{R^2C^2}+3\\ &=-30\frac{R}{R_C}-20+\frac{R}{R_C}-6-\frac{4R_C}{R}+3\\ &=-29\frac{R}{R_C}-23-4\frac{R_C}{R}\\ \therefore h_{fe}&=29\frac{R}{R_C}+23+4\frac{R_C}{R} \end{split} \end{equation}

hfeh_{fe}의 최솟값은 얼마일까? 산술-기하 평균을 이용해보자.

hfe=29RRC+23+4RCR≥23+229RRC×4RCR=23+2116≈44.5\begin{equation} \begin{split} h_{fe}&=29\frac{R}{R_C}+23+4\frac{R_C}{R}\\ &\ge 23+2\sqrt{29\frac{R}{R_C}\times4\frac{R_C}{R} }\\ &=23+2\sqrt{116}\\ &\approx 44.5 \end{split} \end{equation}

이고 등호는

29RRC=4RCR⇒RRC≈0.3729\frac{R}{R_C}=4\frac{R_C}{R} \Rightarrow \frac{R}{R_C}\approx 0.37

일 때 성립한다. 위에서 발진주파수를 구할 때 RCR≪1⇔RRC≫1\frac{R_C}{R}\ll 1\Leftrightarrow \frac{R}{R_C}\gg 1라고 가정하였으므로 RRC≫0.37\frac{R}{R_C}\gg 0.37이니 이 주파수에서 발진이 가능함을 확인할 수 있다.

커패시터의 리액턴스와 저항의 비율은 어떻게 될까? 다음과 같이 구할 수 있다.

ω0=16RC⇒6R=1ω0C\omega_0=\frac{1}{\sqrt{6}RC}\Rightarrow \sqrt{6}R=\frac{1}{\omega_0 C}

우변이 커패시터의 리액턴스이므로

R:XC=1:6R:X_C=1:\sqrt{6}

이다.