2023 7급 서울시 통신이론 1번 F X ( − ∞ ) = 0 F_X(-\infty)=0 F X ( − ∞ ) = 0 이다.
그렇다. 모든 확률의 합이라고 생각하면 된다.
2번과 같다.
누적이기 때문에 F X ( x ) F_X(x) F X ( x )
따라서 답은 1번 이다.
2번 먼저 파스발의 정리를 이용해서 풀어보자. 주어진 신호를 복소 지수함수로 표현하면
x ( t ) = 1 j ( e j 2 π t − e − j 2 π t ) + 2 ( e j 3 π t + e − j 3 π t ) x(t)=\frac{1}{j}\left(e^{j2\pi t}-e^{-j2\pi t}\right)+2\left(e^{j3\pi t} + e^{-j3\pi t} \right) x ( t ) = j 1 ( e j 2 π t − e − j 2 π t ) + 2 ( e j 3 π t + e − j 3 π t ) 이므로 x ( t ) x(t) x ( t )
X ( f ) = 1 j ( δ ( f − 1 ) − δ ( f + 1 ) ) + 2 ( δ ( f − 3 ) + δ ( f + 3 ) ) X(f)=\frac{1}{j}(\delta(f-1)-\delta(f+1))+2(\delta(f-3)+\delta(f+3)) X ( f ) = j 1 ( δ ( f − 1 ) − δ ( f + 1 )) + 2 ( δ ( f − 3 ) + δ ( f + 3 )) 이다. 따라서
S X ( f ) = ∣ 1 j ∣ 2 ( δ ( f − 1 ) + δ ( f + 1 ) ) + 2 2 ( δ ( f − 3 ) + δ ( f + 3 ) ) = δ ( f − 1 ) + δ ( f + 1 ) + 4 δ ( f − 3 ) + 4 δ ( f + 3 ) \begin{equation} \begin{split} S_X(f)&=\left\vert\frac{1}{j}\right\vert^2(\delta(f-1)+\delta(f+1))+2^2(\delta(f-3)+\delta(f+3))\\ &=\delta(f-1)+\delta(f+1)+4\delta(f-3)+4\delta(f+3) \end{split} \end{equation} S X ( f ) = ∣ ∣ j 1 ∣ ∣ 2 ( δ ( f − 1 ) + δ ( f + 1 )) + 2 2 ( δ ( f − 3 ) + δ ( f + 3 )) = δ ( f − 1 ) + δ ( f + 1 ) + 4 δ ( f − 3 ) + 4 δ ( f + 3 ) 이므로 전력은
P = 1 + 1 + 4 + 4 = 10 P=1+1+4+4=10 P = 1 + 1 + 4 + 4 = 10 이고 답은 3번 이다.
그러나 굳이 이렇게 할 필요는 없다. 그냥 시간 영역에서 전력을 구하면 되는데, 2 s i n ( 2 π t ) 2sin(2\pi t) 2 s in ( 2 π t ) 4 c o s ( 3 π t ) 4cos(3\pi t) 4 cos ( 3 π t ) a c o s ( 2 π f t ) a cos(2\pi f t) a cos ( 2 π f t )
1 1 f ∫ 0 1 f a 2 c o s 2 ( 2 π f t ) d t = 1 1 f × a 2 × 1 2 ∫ 0 1 f ( c o s ( 4 π f t ) + 1 ) d t = a 2 2 ( 1 4 π f ( s i n ( 4 π ) − s i n ( 0 ) ) + 1 ) = a 2 2 \begin{equation} \begin{split} \frac{1}{\frac{1}{f}}\int_0 ^\frac{1}{f} a^2 cos^2(2\pi f t)dt&=\frac{1}{\frac{1}{f}}\times a^2\times \frac{1}{2}\int_0 ^\frac{1}{f}(cos(4\pi f t)+1)dt\\ &=\frac{a^2}{2}\left( \frac{1}{4\pi f}(sin(4\pi)-sin(0)) +1 \right)\\ &=\frac{a^2}{2} \end{split} \end{equation} f 1 1 ∫ 0 f 1 a 2 co s 2 ( 2 π f t ) d t = f 1 1 × a 2 × 2 1 ∫ 0 f 1 ( cos ( 4 π f t ) + 1 ) d t = 2 a 2 ( 4 π f 1 ( s in ( 4 π ) − s in ( 0 )) + 1 ) = 2 a 2 이고, a s i n ( 2 π f t ) a sin(2\pi f t) a s in ( 2 π f t )
P = 1 2 ( 2 2 + 4 2 ) = 10 \begin{equation} \begin{split} P&=\frac{1}{2}(2^2+4^2)\\ &=10 \end{split} \end{equation} P = 2 1 ( 2 2 + 4 2 ) = 10 이다.
3번 FM이다. FM은 시간과 관계있는 주파수에 정보가 실리므로 시간 정보를 사용하지 않는 포락선 검파를 할 수 없고 미분해야 한다. SSB, 그 중에서도 SSB-SC이다. 포락선 검파를 위한 반송파 성분이 없으므로 포락선 검파가 불가하다. DSB-SC이다. 2번과 마찬가지이다. DSB-LC 또는 DSB-FC, DSB-TC라고도 한다. 반송파 성분이 있으므로 c o s ( 2 π f c t ) ( x ( t ) + 1 ) cos(2\pi f_c t)(x(t)+1) cos ( 2 π f c t ) ( x ( t ) + 1 ) x ( t ) + 1 x(t)+1 x ( t ) + 1 따라서 답은 4번 이다.
4번 해밍 부호는 선형 부호로 현재 값과 과거 값이 상관이 없다. 상관이 있는 것은 콘볼루션 코드(길쌈 부호)이다.
따라서 답은 3번 이다.
5번 Z = ∑ a i X i Z=\sum a_iX_i Z = ∑ a i X i 일 때
V a r ( Z ) = ∑ a i 2 V a r ( X i ) Var(Z)=\sum a_i^2 Var(X_i) Va r ( Z ) = ∑ a i 2 Va r ( X i ) 이다.(직접 증명해보자) 주어진 조건에서 a i = 1 , V a r ( X i ) = 1 a_i=1, Var(X_i)=1 a i = 1 , Va r ( X i ) = 1
V a r ( Z ) = 1 × 50 = 50 Var(Z)=1\times 50=50 Va r ( Z ) = 1 × 50 = 50 이므로 답은 3번 이다.
6번 주어진 신호에 포함된 주파수 성분은 각각 2 Hz와 8 Hz이다. 샘플링 주파수가 10 Hz이므로 샘플링된 후의 주파수 성분들은 10 k ± 2 , 10 k ± 8 10k \pm 2, 10k \pm 8 10 k ± 2 , 10 k ± 8 2 , 8 , 12 , 18 , 22 , 28 , ⋯ 2, 8, 12, 18, 22, 28, \cdots 2 , 8 , 12 , 18 , 22 , 28 , ⋯ 1번 이다.
7번 세 각주파수 중 중간의 각주파수가 3000 π 3000\pi 3000 π
이다. 또한 이 각주파수를 중심으로 ± 300 π \pm 300\pi ± 300 π
s ( t ) = 2 c o s ( 300 π t ) s(t)=2cos(300\pi t) s ( t ) = 2 cos ( 300 π t ) 임을 알 수 있다. 그래야
2 c o s ( 300 π t ) c o s ( 3000 π t ) = c o s ( ( 3000 + 300 ) π t ) + c o s ( ( 3000 − 300 ) π t ) 2cos(300\pi t)cos(3000\pi t)=cos((3000+300)\pi t)+cos((3000-300)\pi t) 2 cos ( 300 π t ) cos ( 3000 π t ) = cos (( 3000 + 300 ) π t ) + cos (( 3000 − 300 ) π t ) 일 것이기 때문이다. 따라서 기저대역 신호 주파수는
f m = 150 Hz f_m=150\text{ Hz} f m = 150 Hz 이고 변조지수는
m = 2 4 = 0.5 m=\frac{2}{4}=0.5 m = 4 2 = 0.5 이므로 답은 @번 이다.
8번 초록색 공이 꺼내질 확률은
P ( X ) P ( 초록색 ∣ X ) + P ( Y ) P ( 초록색 ∣ Y ) = 0.6 × 30 120 + 0.4 × 32 80 = 0.6 × 1 4 + 0.4 × 0.4 = 0.15 + 0.16 = 0.31 \begin{equation} \begin{split} P(X)P(\text{초록색}|X)+P(Y)P(\text{초록색}|Y)&=0.6\times\frac{30}{120}+0.4\times\frac{32}{80}\\ &=0.6\times\frac{1}{4}+0.4\times0.4\\ &=0.15+0.16\\ &=0.31 \end{split} \end{equation} P ( X ) P ( 초록색 ∣ X ) + P ( Y ) P ( 초록색 ∣ Y ) = 0.6 × 120 30 + 0.4 × 80 32 = 0.6 × 4 1 + 0.4 × 0.4 = 0.15 + 0.16 = 0.31 이다. 따라서 답은 4번 이다.
9번 L ( y ) = l n ( 1 2 π e − ( y − 1 ) 2 2 1 2 π e − ( y + 1 ) 2 2 ) = l n ( e − ( y − 1 ) 2 2 + ( y + 1 ) 2 2 ) = l n ( e 2 y ) = 2 y \begin{equation} \begin{split} L(y)&=ln\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(y-1)^2}{2}}} {\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(y+1)^2}{2}}}\right)\\ &=ln\left( e^{-\frac{(y-1)^2}{2}+\frac{(y+1)^2}{2}} \right)\\ &=ln(e^{2y})\\ &=2y \end{split} \end{equation} L ( y ) = l n ⎝ ⎛ 2 π 1 e − 2 ( y + 1 ) 2 2 π 1 e − 2 ( y − 1 ) 2 ⎠ ⎞ = l n ( e − 2 ( y − 1 ) 2 + 2 ( y + 1 ) 2 ) = l n ( e 2 y ) = 2 y 이다. 따라서
L ( 0.5 ) = 2 × 0.5 = 1 L(0.5)=2\times 0.5=1 L ( 0.5 ) = 2 × 0.5 = 1 이므로 답은 3번 이다.
10번 (7,4) 부호의 경우 d m i n = 3 d_{min}=3 d min = 3 3 − 1 = 2 3-1=2 3 − 1 = 2 그렇다. [ 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ] × [ 0 0 1 0 1 0 0 ] = [ 1 1 0 ] \begin{equation} \begin{split} \begin{bmatrix} 1&1&1&1&0&0&0\\ 1&1&0&0&1&1&0\\ 1&0&1&0&1&0&1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0\\0\\1\\0\\1\\0\\0 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix} \end{split} \end{equation} ⎣ ⎡ 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ × ⎣ ⎡ 0 0 1 0 1 0 0 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 1 0 ⎦ ⎤ [ 0 1 1 0 1 0 0 ] \begin{bmatrix} 0&1&1&0&1&0&0 \end{bmatrix} [ 0 1 1 0 1 0 0 ] [ 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ] × [ 1 0 1 0 0 0 0 ] = [ 0 1 0 ] \begin{equation} \begin{split} \begin{bmatrix} 1&1&1&1&0&0&0\\ 1&1&0&0&1&1&0\\ 1&0&1&0&1&0&1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1\\0\\1\\0\\0\\0\\0 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix} \end{split} \end{equation} ⎣ ⎡ 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ × ⎣ ⎡ 1 0 1 0 0 0 0 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 0 1 0 ⎦ ⎤ G 4 × 7 G_{4\times7} G 4 × 7 따라서 답은 4번 이다.
11번 한 개의 부반송파 대역폭은
5.12 × 1 0 6 256 = 2 × 1 0 4 Hz \frac{5.12\times 10^6}{256}=2\times 10^4\text{ Hz} 256 5.12 × 1 0 6 = 2 × 1 0 4 Hz 이다. 한편 QPSK를 이용함에 따라 한 부반송파당 2개의 비트가 실린다. 따라서 초당 비트 전송률은
2 × 1 0 4 × 2 × 256 bps 2\times 10^4\times 2\times 256\text{ bps} 2 × 1 0 4 × 2 × 256 bps 이다. 그러므로 스펙트럼 효율을 구하면
2 × 1 0 4 × 2 × 256 × 1 5.12 × 1 0 6 = 2 bps/Hz 2\times 10^4\times2\times 256\times \frac{1}{5.12\times 10^6}=2\text{ bps/Hz} 2 × 1 0 4 × 2 × 256 × 5.12 × 1 0 6 1 = 2 bps/Hz 이고 답은 2번 이다.
12번 R X Y ( τ ) = E [ ( X ( t ) ) Y ( t + τ ) ] = E [ X ( t − τ ) Y ( t ) ] = E [ Y ( t ) X ( t − τ ) ] = R Y X ( − τ ) \begin{equation} \begin{split} R_{XY}(\tau)&=E[(X(t))Y(t+\tau)]\\ &=E[X(t-\tau)Y(t)]\\ &=E[Y(t)X(t-\tau)]\\ &=R_{YX}(-\tau) \end{split} \end{equation} R X Y ( τ ) = E [( X ( t )) Y ( t + τ )] = E [ X ( t − τ ) Y ( t )] = E [ Y ( t ) X ( t − τ )] = R Y X ( − τ ) 이므로 옳지 않다.
산술-기하 평균 관계
2 a b ≤ a + b ⇒ 4 a b ≤ a 2 + 2 a b + b 2 ⇒ a b ≤ 1 2 ( a 2 + b 2 ) 2\sqrt{ab}\leq a+b \Rightarrow 4ab\leq a^2+2ab+b^2 \Rightarrow ab \leq \frac{1}{2}(a^2+b^2) 2 ab ≤ a + b ⇒ 4 ab ≤ a 2 + 2 ab + b 2 ⇒ ab ≤ 2 1 ( a 2 + b 2 ) 을 이용하자.
∣ R X Y ( τ ) ∣ = ∣ E [ X ( t ) Y ( t + τ ) ] ∣ ≤ ∣ E [ 1 2 ( X 2 ( t ) + Y 2 ( t + τ ) ) ] ∣ = 1 2 ∣ E [ X 2 ( t ) ] + E [ Y 2 ( t + τ ) ] ∣ = 1 2 [ R X ( 0 ) + R Y ( 0 ) ] \begin{equation} \begin{split} |R_{XY}(\tau)|&=|E[X(t)Y(t+\tau)]|\\ &\leq \left|E\left[ \frac{1}{2}(X^2(t)+Y^2(t+\tau)) \right]\right|\\ &=\frac{1}{2}\left|E[X^2(t)]+E[Y^2(t+\tau)] \right|\\ &=\frac{1}{2}[R_X(0)+R_Y(0)] \end{split} \end{equation} ∣ R X Y ( τ ) ∣ = ∣ E [ X ( t ) Y ( t + τ )] ∣ ≤ ∣ ∣ E [ 2 1 ( X 2 ( t ) + Y 2 ( t + τ )) ] ∣ ∣ = 2 1 ∣ ∣ E [ X 2 ( t )] + E [ Y 2 ( t + τ )] ∣ ∣ = 2 1 [ R X ( 0 ) + R Y ( 0 )] 이므로 옳다.
2번의 관계식에서 τ = 0 \tau=0 τ = 0
성립할 이유가 없다.
따라서 답은 2번 이다.
13번 나이퀴스트율은 최고 주파수의 2배인 8,000 Hz이다. 따라서 이의 1.5배 주파수는 12,000 Hz이다. 한편 롤오프율이 α = 0.4 \alpha=0.4 α = 0.4
1 + 0.4 2 × 12000 = 8400 Hz \frac{1+0.4}{2}\times 12000=8400 \text{ Hz} 2 1 + 0.4 × 12000 = 8400 Hz 가 된다. 그러므로 답은 3번 이다.
14번 허프만 코딩을 직접 해보자.
H = 1 × 6 10 + 2 × 9 40 + 3 × 1 10 + 4 × 1 20 + 4 × 1 40 = 1.65 \begin{equation} \begin{split} H&=1\times \frac{6}{10}+2\times \frac{9}{40}+3\times \frac{1}{10}+4\times \frac{1}{20}+4\times \frac{1}{40}\\ &=1.65 \end{split} \end{equation} H = 1 × 10 6 + 2 × 40 9 + 3 × 10 1 + 4 × 20 1 + 4 × 40 1 = 1.65 이므로 답은 2번 이다.
15번 절반은 +1, 나머지 절반은 -1을 전송하므로 대역폭은 RZ와 같다. 그렇다. 그렇다. 그렇다. 중간의 상태 변화 지점들을 클럭으로 사용할 수 있다. 따라서 답은 1번 이다.
16번 채널 용량은
C = W l o g 2 ( 1 + S N R ) = 500 l o g 2 ( 1 + 15 ) = 2 Mbps \begin{equation} \begin{split} C&=W log_2(1+SNR)\\ &=500 log_2(1+15)\\ &=2\text{ Mbps} \end{split} \end{equation} C = W l o g 2 ( 1 + SNR ) = 500 l o g 2 ( 1 + 15 ) = 2 Mbps 이므로 답은 4번 이다.
17번 식을 세워서 정리한 다음 라플라스 변환하면
∫ ( x ( t ) − y ( t ) ) d t + e ( t ) = y ( t ) ⇒ Y ( s ) ( 1 + 1 s ) = 1 s X ( s ) + E ( s ) ⇒ Y ( s ) = 1 s 1 + 1 s X ( s ) + 1 1 + 1 s E ( s ) = 1 1 + s X ( s ) + s 1 + s E ( s ) \begin{equation} \begin{split} \int (x(t)-y(t))dt+e(t)&=y(t)\\ \Rightarrow Y(s)\left(1+\frac{1}{s}\right)&=\frac{1}{s}X(s)+E(s)\\ \Rightarrow Y(s)&=\frac{\frac{1}{s}}{1+\frac{1}{s}}X(s)+\frac{1}{1+\frac{1}{s}}E(s)\\ &=\frac{1}{1+s}X(s)+\frac{s}{1+s}E(s) \end{split} \end{equation} ∫ ( x ( t ) − y ( t )) d t + e ( t ) ⇒ Y ( s ) ( 1 + s 1 ) ⇒ Y ( s ) = y ( t ) = s 1 X ( s ) + E ( s ) = 1 + s 1 s 1 X ( s ) + 1 + s 1 1 E ( s ) = 1 + s 1 X ( s ) + 1 + s s E ( s ) 이므로 답은 1번 이다.
18번 정합 필터를 쓰면 수신 신호를 통과시킨 후 샘플링 시의 SNR이 최대가 된다. 따라서 답은 4번 이다.
19번 VLF나 SHF의 대역폭을 일일이 외울 수도 있겠으나, 1 0 3 10^3 1 0 3 3번 밖에 없다.
20번 나이퀴스트율은 차단주파수의 2배인 8 kHz이다. 따라서 이의 1.5배는 12 kHz이다. 각 표본을 8비트로 변환하여 전송하면 전송속도는
12 × 8 = 96 kbps 12\times 8=96\text{ kbps} 12 × 8 = 96 kbps 가 되므로 답은 4번 이다.
평균 길이를 구해보면