2023 7급 국가직 전기자기학 1번 그렇지 않다. D ⃗ ⊥ \vec{D}_{\bot} D ⊥ 그렇지 않다. E ⃗ ∥ \vec{E}_{\parallel} E ∥ 그렇다. 완전 도체에는 전계가 없기 때문에, 연속적인 값을 갖는 전계의 접선 성분은 0이다. 그렇지 않다. 전속밀도의 법선 성분이 도체상의 표면전하밀도와 같다. 따라서 답은 3번 이다.
2번 일단 B나 D는 아닐 것이다. 로렌츠 힘은 F = q v ⃗ × B ⃗ F=q\vec{v}\times\vec{B} F = q v × B q v ⃗ q\vec{v} q v 3번 이다.
3번 특성 임피던스는 유전율과 투자율로부터 정해지는 상수이다. 감쇄 상수는 0이지만 특성 임피던스는 0이 아닐 것이다. 위상 속도는 v p = ω β = ω ω μ ε = 1 μ ε v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{\omega}{\omega\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} v p = β ω = ω μ ε ω = μ ε 1 위상 상수는 β = ω μ ε = 2 π f μ ε \beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=2\pi f\sqrt{\mu\varepsilon} β = ω μ ε = 2 π f μ ε 따라서 답은 4번 이다.
4번 A는 오른쪽 도선들에 지면을 뚫고 들어가는 방향으로 자기력을 가한다. B는 A에게 지면을 뚫고 나오는 방향으로, C에게 지면을 뚫고 들어가는 방향으로 자기력을 가한다. C는 왼쪽 도선들에게 지면을 뚫고 들어가는 방향으로 자기력을 가한다.
따라서 B는 양쪽에서 지면을 뚫고 들어가는 방향으로 자기력을 받고, A는 서로 다른 방향으로 두 자기력을 받고, C는 지면을 뚫고 들어가는 방향으로 합쳐지는 자기력을 받는데 A와 C 사이의 거리가 A와 B 사이의 거리보다 멀기 때문에 B보다는 약한 자기력을 받게 된다.
따라서 답은 2번 이다.
5번 e m f = − d Φ ( t ) d t emf=-\frac{d\Phi(t)}{dt} e m f = − d t d Φ ( t ) 이다. 이 때 emf가 +인 경우는 전류 방향이 그림과 반대 방향인 경우이다. 따라서 emf가 -인 구간, 즉 A와 D에서 전류가 +가 된다. 그러므로 답은 4번 이다.
6번 Z i n = Z 0 Z L + j Z 0 t a n ( β l ) Z 0 + j Z L t a n ( β l ) Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0tan(\beta l)}{Z_0+jZ_Ltan(\beta l)} Z in = Z 0 Z 0 + j Z L t an ( βl ) Z L + j Z 0 t an ( βl ) 이다. Z 0 Z_0 Z 0 Z L Z_L Z L l = 0 l=0 l = 0 Z i n = Z L Z_{in}=Z_L Z in = Z L
이 때 탄젠트는 무한대로 발산하므로 Z i n = Z 0 2 Z L Z_{in}=\frac{Z_0^2}{Z_L} Z in = Z L Z 0 2 Z L = 0 Z_L=0 Z L = 0 Z i n = j Z 0 t a n ( β l ) Z_{in}=jZ_0tan(\beta l) Z in = j Z 0 t an ( βl ) Z L = ∞ Z_L=\infty Z L = ∞ Z i n = Z 0 × 1 j t a n ( β l ) = − j Z 0 c o t ( β l ) Z_{in}=Z_0\times\frac{1}{jtan(\beta l)}=-jZ_0cot(\beta l) Z in = Z 0 × j t an ( βl ) 1 = − j Z 0 co t ( βl ) Z L = Z 0 Z_L=Z_0 Z L = Z 0 Z i n = Z 0 Z_{in}=Z_0 Z in = Z 0 따라서 답은 1번 이다.
7번 ∇ × B ⃗ = μ 0 ( J ⃗ + J b ⃗ ) ⇒ a z ⃗ 10 = μ 0 ( J ⃗ + J b ⃗ ) \begin{equation} \begin{split} \nabla\times\vec{B}&=\mu_0(\vec{J}+\vec{J_b})\\ \Rightarrow \vec{a_z}10&=\mu_0(\vec{J}+\vec{J_b}) \end{split} \end{equation} ∇ × B ⇒ a z 10 = μ 0 ( J + J b ) = μ 0 ( J + J b ) 이다. 그리고
∇ × H ⃗ = J ⃗ \nabla\times\vec{H}=\vec{J} ∇ × H = J 이며
H ⃗ = 1 μ B ⃗ = 1 5 μ 0 a y ⃗ 10 x = a y ⃗ 2 x μ 0 \begin{equation} \begin{split} \vec{H}&=\frac{1}{\mu}\vec{B}\\ &=\frac{1}{5\mu_0}\vec{a_y}10x\\ &=\vec{a_y}\frac{2x}{\mu_0} \end{split} \end{equation} H = μ 1 B = 5 μ 0 1 a y 10 x = a y μ 0 2 x 이다. 따라서
J ⃗ = ∇ × a y ⃗ 2 x μ 0 = a z ⃗ 2 μ 0 \begin{equation} \begin{split} \vec{J}&=\nabla\times\vec{a_y}\frac{2x}{\mu_0}\\ &=\vec{a_z}\frac{2}{\mu_0} \end{split} \end{equation} J = ∇ × a y μ 0 2 x = a z μ 0 2 이다. 이를 대입하면
a z ⃗ 10 = a z ⃗ 2 + μ 0 J b ⃗ ⇒ J b ⃗ = a z ⃗ 8 μ 0 \begin{equation} \begin{split} \vec{a_z}10&=\vec{a_z}2+\mu_0\vec{J_b}\\ \Rightarrow \vec{J_b}&=\vec{a_z}\frac{8}{\mu_0} \end{split} \end{equation} a z 10 ⇒ J b = a z 2 + μ 0 J b = a z μ 0 8 이므로 답은 3번 이다. 사실 계산 안하고도 B ⃗ \vec{B} B a y ⃗ \vec{a_y} a y x x x a x ⃗ × a y ⃗ = a z ⃗ \vec{a_x}\times\vec{a_y}=\vec{a_z} a x × a y = a z
8번 k = 4 2 + k Z 2 k=\sqrt{4^2+k_Z^2} k = 4 2 + k Z 2 이고
k = ω μ ε k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon} k = ω μ ε 이다. 한편
1 μ ε = 1 μ 0 × 9 × ε 0 = 1 3 × 3 × 1 0 8 = 1 0 8 ⇒ μ ε = 1 0 − 8 \begin{equation} \begin{split} \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}&=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\times 9\times \varepsilon_0}}\\ &=\frac{1}{3}\times 3\times 10^8\\ &=10^8\\ \Rightarrow \sqrt{\mu\varepsilon}&=10^{-8} \end{split} \end{equation} μ ε 1 ⇒ μ ε = μ 0 × 9 × ε 0 1 = 3 1 × 3 × 1 0 8 = 1 0 8 = 1 0 − 8 이다. 그리고 ω = 5 × 1 0 8 \omega=5\times10^8 ω = 5 × 1 0 8
k = 5 × 1 0 8 × 1 0 − 8 = 5 ⇒ 4 2 + k z 2 = 5 ⇒ k z = 3 \begin{equation} \begin{split} k&=5\times10^8\times10^{-8}\\ &=5\\ \Rightarrow \sqrt{4^2+k_z^2}&=5\\ \Rightarrow k_z&=3 \end{split} \end{equation} k ⇒ 4 2 + k z 2 ⇒ k z = 5 × 1 0 8 × 1 0 − 8 = 5 = 5 = 3 이고 답은 1번 이다.
9번 면전하밀도에 의한 전계는 x x x
− a x ⃗ 3 × 1 0 − 9 2 ε 0 -\vec{a_x}\frac{3\times10^{-9}}{2\varepsilon_0} − a x 2 ε 0 3 × 1 0 − 9 이다. 다음으로 선전하밀도에 의한 전계는 일반적으로
ρ l 2 π ε R a R ⃗ \frac{\rho_l}{2\pi\varepsilon \mathcal{R} }\vec{a_\mathcal{R}} 2 π ε R ρ l a R 인데 주어진 조건에서
a x ⃗ 6 × 1 0 − 9 2 π ε 0 × 2 = a x ⃗ 3 × 1 0 − 9 2 π ε 0 \vec{a_x}\frac{6\times 10^{-9}}{2\pi \varepsilon_0\times2}=\vec{a_x}\frac{3\times 10^{-9}}{2\pi\varepsilon_0} a x 2 π ε 0 × 2 6 × 1 0 − 9 = a x 2 π ε 0 3 × 1 0 − 9 이다. 따라서 둘을 더하면
− a x ⃗ 3 × 1 0 − 9 2 ε 0 + a x ⃗ 3 × 1 0 − 9 2 π ε 0 = − a x ⃗ 3 × 1 0 − 9 2 ε 0 ( 1 − 1 π ) -\vec{a_x}\frac{3\times10^{-9}}{2\varepsilon_0}+\vec{a_x}\frac{3\times 10^{-9}}{2\pi\varepsilon_0}=-\vec{a_x}\frac{3\times10^{-9}}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{1}{\pi} \right) − a x 2 ε 0 3 × 1 0 − 9 + a x 2 π ε 0 3 × 1 0 − 9 = − a x 2 ε 0 3 × 1 0 − 9 ( 1 − π 1 ) 이므로 답은 4번 이다.
10번 τ ⃗ = m ⃗ × B ⃗ \vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B} τ = m × B 이다. 그리고
m ⃗ = π a 2 I a z ⃗ \vec{m}=\pi a^2 I\vec{a_z} m = π a 2 I a z 이므로
τ = π a 2 I ⋅ B ⋅ s i n 3 0 ∘ = π a 2 I B 2 \begin{equation} \begin{split} \tau&=\pi a^2 I \cdot B \cdot sin 30^\circ\\ &=\frac{\pi a^2 I B}{2} \end{split} \end{equation} τ = π a 2 I ⋅ B ⋅ s in 3 0 ∘ = 2 π a 2 I B 이다. 따라서 답은 1번 이다.
11번 ρ v ( 1 , 1 , 1 ) = ∇ ⋅ D ⃗ ∣ ( 1 , 1 , 1 ) = ( 2 z ) ∣ ( 1 , 1 , 1 ) = 2 \begin{equation} \begin{split} \rho_v(1,1,1)&=\nabla\cdot\vec{D}|_{(1,1,1)}\\ &=(2z)|_{(1,1,1)}\\ &=2 \end{split} \end{equation} ρ v ( 1 , 1 , 1 ) = ∇ ⋅ D ∣ ( 1 , 1 , 1 ) = ( 2 z ) ∣ ( 1 , 1 , 1 ) = 2 이므로 답은 1번 이다.
12번 전계와 자계의 위상차는 ∠ ( 1 + j ) = 4 5 ∘ \angle (1+j)=45^\circ ∠ ( 1 + j ) = 4 5 ∘ 고유 임피던스의 실수부와 허수부가 똑같이 1이므로 액체는 양도체, 즉 전기 전도도가 0보다 크다. 전계와 자계는 항상 수직을 이룬다. 위상이 수직이 아닌 것이다. 표피 효과에 의해 1 π f μ σ \frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}} π f μ σ 1 따라서 답은 3번 이다.
13번 껍질 정리에 의해서 z z z a z ⃗ \vec{a_z} a z 5 × 2 π × 1 = 10 π 5\times 2\pi\times 1=10\pi 5 × 2 π × 1 = 10 π P P P
B ⃗ = μ 0 × 10 π 2 π × 5 a ⃗ a ϕ ⃗ \vec{B}=\frac{\mu_0 \times 10\pi}{2\pi \times 5}\vec{a}\vec{a_\phi} B = 2 π × 5 μ 0 × 10 π a a ϕ 이므로 답은 2번 이다.
14번 S ⃗ = E ⃗ × H ⃗ \vec{S}=\vec{E}\times\vec{H} S = E × H 이다. 주어진 그림에서 위 외적의 방향은 − x -x − x 2번 이다.
15번 왼쪽 도선에서의 거리가 1이고 전류는 2이다. 이를 상쇄하기 위해서는 거리가 4배인 오른쪽 도선의 전류 또한 4배여야 하고, 방향은 같아야 한다. 따라서 답은 2번 이다.
16번 길이 l = 2 l=2 l = 2
Z 0 = L / l C / l = 4 × 1 0 − 6 100 × 1 0 − 12 = 4 × 1 0 4 = 200 Ω \begin{equation} \begin{split} Z_0&=\sqrt{\frac{L/l}{C/l}}\\ &=\sqrt{\frac{4\times 10^{-6}}{100\times10^{-12}}}\\ &=\sqrt{4\times10^4}\\ &=200\text{ }\Omega \end{split} \end{equation} Z 0 = C / l L / l = 100 × 1 0 − 12 4 × 1 0 − 6 = 4 × 1 0 4 = 200 Ω 이고
β = ω L C / l 2 = 1 0 7 × 2 π × 4 × 1 0 − 6 × 100 × 1 0 − 12 / 4 = 1 0 7 × 2 π × 10 × 1 0 − 9 = 0.2 π rad/m \begin{equation} \begin{split} \beta&=\omega\sqrt{LC/l^2}\\ &=10^7\times2\pi\times\sqrt{4\times10^{-6}\times100\times10^{-12}/4}\\ &=10^7\times 2\pi \times 10\times 10^{-9}\\ &=0.2\pi\text{ rad/m} \end{split} \end{equation} β = ω L C / l 2 = 1 0 7 × 2 π × 4 × 1 0 − 6 × 100 × 1 0 − 12 /4 = 1 0 7 × 2 π × 10 × 1 0 − 9 = 0.2 π rad/m 이다. 따라서 답은 3번 이다. 단위길이당 인덕턴스와 커패시턴스를 이용해야 함에 주의하자.
17번 시간평균 전력밀도는
< S > = 1 2 E H \lt S \gt =\frac{1}{2}EH < S >= 2 1 E H 이다. 그리고
v p = ω β = 1 0 8 1 / 2 = 2 × 1 0 8 = 1 μ 0 ε 0 ε r ⇒ ε r = 9 × 1 0 16 4 × 1 0 16 = 9 4 ⇒ η = μ 0 ε = 120 π × 1 ε = 120 π × 2 3 = 80 π \begin{equation} \begin{split} v_p&=\frac{\omega}{\beta}\\ &=\frac{10^8}{1/2}\\ &=2\times10^8\\ &=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_r}}\\ \Rightarrow \varepsilon_r&=\frac{9\times10^{16}}{4\times10^{16}}\\ &=\frac{9}{4}\\ \Rightarrow \eta&=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon}}\\ &=120\pi\times\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\\ &=120\pi\times\frac{2}{3}\\ &=80\pi \end{split} \end{equation} v p ⇒ ε r ⇒ η = β ω = 1/2 1 0 8 = 2 × 1 0 8 = μ 0 ε 0 ε r 1 = 4 × 1 0 16 9 × 1 0 16 = 4 9 = ε μ 0 = 120 π × ε 1 = 120 π × 3 2 = 80 π 이므로
H = E η = 4 80 π = 1 20 π ⇒ < S > = 1 2 × 4 × 1 20 π = 1 10 π W/m 2 \begin{equation} \begin{split} H&=\frac{E}{\eta}\\ &=\frac{4}{80\pi}\\ &=\frac{1}{20\pi}\\ \Rightarrow \lt S \gt &=\frac{1}{2}\times4\times\frac{1}{20\pi}\\ &=\frac{1}{10\pi}\text{ W/m}^2 \end{split} \end{equation} H ⇒< S > = η E = 80 π 4 = 20 π 1 = 2 1 × 4 × 20 π 1 = 10 π 1 W/m 2 이다. 따라서 답은 2번 이다.
18번 주어진 전기장의 특징을 이용한 풀이∇ × E ⃗ = ∣ a x ⃗ a y ⃗ a z ⃗ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y x 0 ∣ = 0 ⃗ \begin{equation} \begin{split} \nabla\times\vec{E}&=\begin{vmatrix} \vec{a_x}&\vec{a_y}&\vec{a_z}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ y&x&0 \end{vmatrix}\\ &=\vec{0} \end{split} \end{equation} ∇ × E = ∣ ∣ a x ∂ x ∂ y a y ∂ y ∂ x a z ∂ z ∂ 0 ∣ ∣ = 0 x x x y y y x x x y = 2 y=2 y = 2 E ⃗ = a x ^ 2 + a y ^ x \vec{E}=\hat{a_x}2+\hat{a_y}x E = a x ^ 2 + a y ^ x − 2 × 3 = − 6 V -2\times3=-6 \text{ V} − 2 × 3 = − 6 V y y y x = 2 x=2 x = 2 E ⃗ = a x ^ y + y ^ 2 \vec{E}=\hat{a_x}y+\hat{_y}2 E = a x ^ y + y ^ 2 − 2 × 6 = − 12 V -2\times 6=-12 \text{ V} − 2 × 6 = − 12 V − 18 V -18 \text{ V} − 18 V − 3 C -3 \text { C} − 3 C ( − 18 ) × ( − 3 ) = 54 J (-18)\times(-3)=54\text{ J} ( − 18 ) × ( − 3 ) = 54 J 직접 선적분을 하는 풀이\
매개변수 t t t x , y x,y x , y x = t y = 2 t 2 \begin{equation} \begin{split} x&=t\\ y&=2t^2 \end{split} \end{equation} x y = t = 2 t 2 t 1 = − 1 t_1=-1 t 1 = − 1 t 2 = 2 t_2=2 t 2 = 2 t t t E ⃗ = a x ^ 2 t 2 + a y ^ t \vec{E}=\hat{a_x}2t^2+\hat{a_y}t E = a x ^ 2 t 2 + a y ^ t d x = d t d y = 4 t d t \begin{equation} \begin{split} dx&=dt\\ dy&=4tdt \end{split} \end{equation} d x d y = d t = 4 t d t d l ⃗ = d x a x ^ + d y a y ^ + d z a z ^ = d t a x ^ + 4 t d t a y ^ \begin{equation} \begin{split} d\vec{l}&=dx\hat{a_x}+dy\hat{a_y}+dz\hat{a_z}\\ &=dt\hat{a_x}+4tdt\hat{a_y} \end{split} \end{equation} d l = d x a x ^ + d y a y ^ + d z a z ^ = d t a x ^ + 4 t d t a y ^ V = − ∫ t 1 t 2 E ⃗ ⋅ d l ⃗ = − ∫ − 1 2 ( a x ^ 2 t 2 + a y ^ t ) ⋅ ( d t a x ^ + 4 t d t a y ^ ) = − ∫ − 1 2 ( 2 t 2 + 4 t 2 ) d t = − ∫ − 1 2 6 t 2 d t = − [ 2 t 3 ] − 1 2 = − ( 16 + 2 ) = − 18 V \begin{equation} \begin{split} V&=-\int_{t_1}^{t_2} \vec{E}\cdot d\vec{l}\\ &=-\int _{-1}^{2} \left(\hat{a_x}2t^2+\hat{a_y}t\right)\cdot\left(dt\hat{a_x}+4tdt\hat{a_y}\right)\\ &=-\int _{-1}^{2}\left(2t^2+4t^2\right)dt\\ &=-\int_{-1}^{2}6t^2dt\\ &=-\left[2t^3\right]_{-1}^{2}\\ &=-(16+2)\\ &=-18\text{ V} \end{split} \end{equation} V = − ∫ t 1 t 2 E ⋅ d l = − ∫ − 1 2 ( a x ^ 2 t 2 + a y ^ t ) ⋅ ( d t a x ^ + 4 t d t a y ^ ) = − ∫ − 1 2 ( 2 t 2 + 4 t 2 ) d t = − ∫ − 1 2 6 t 2 d t = − [ 2 t 3 ] − 1 2 = − ( 16 + 2 ) = − 18 V W = ( − 18 ) × ( − 3 ) = 54 J W=(-18)\times(-3)=54\text{ J} W = ( − 18 ) × ( − 3 ) = 54 J 4번 이다. 19번 전체 커패시터는 위치 z z z d z dz d z ε 0 ( 2 + z d ) \varepsilon_0\left(2+\frac{z}{d}\right) ε 0 ( 2 + d z )
d C = e 0 ( 2 + z d ) S d z dC=e_0\left(2+\frac{z}{d}\right)\frac{S}{dz} d C = e 0 ( 2 + d z ) d z S 이다. 커패시터들이 직렬 연결되면 전체 커패시턴스는 각 커패시턴스의 역수의 합의 역수이므로
C = 1 ∫ d C = 1 ∫ − d d d z ε 0 ( 2 + z d ) S = 1 ∫ 1 3 d d z ~ ε 0 S z ~ = ε 0 S d ⋅ 1 ∫ 1 3 d z ~ z ~ = ε 0 S d l n 3 \begin{equation} \begin{split} C&=\frac{1}{\int dC}\\ &=\frac{1}{\int_{-d}^{d}\frac{dz}{\varepsilon_0\left(2+\frac{z}{d}\right)S}}\\ &=\frac{1}{\int_1 ^3 \frac{d d\tilde{z}}{\varepsilon_0S\tilde{z}}}\\ &=\frac{\varepsilon_0S}{d}\cdot\frac{1}{\int_1 ^3 \frac{d\tilde{z}}{\tilde{z}}}\\ &=\frac{\varepsilon_0S}{dln3} \end{split} \end{equation} C = ∫ d C 1 = ∫ − d d ε 0 ( 2 + d z ) S d z 1 = ∫ 1 3 ε 0 S z ~ dd z ~ 1 = d ε 0 S ⋅ ∫ 1 3 z ~ d z ~ 1 = d l n 3 ε 0 S 이고 답은 3번 이다.
20번 상호 인덕턴스는 한 쪽의 전류로 인한 다른 쪽의 쇄교 자속의 비율을 나타내는 값이다.
무한 직선 도선에 전류 I 1 I_1 I 1
Φ = 1 × ∫ 1 3 μ 0 I 1 × 100 2 π ρ d ρ = 100 μ o I 1 l n 3 2 π = 50 μ 0 I 1 π l n 3 \begin{equation} \begin{split} \Phi&=1\times\int_1 ^3 \frac{\mu_0I_1\times100}{2\pi \rho}d\rho=\frac{100\mu_oI_1 ln3}{2\pi}\\ &=\frac{50\mu_0I_1}{\pi}ln3 \end{split} \end{equation} Φ = 1 × ∫ 1 3 2 π ρ μ 0 I 1 × 100 d ρ = 2 π 100 μ o I 1 l n 3 = π 50 μ 0 I 1 l n 3 이므로 상호 인덕턴스는 이를 I 1 I1 I 1
M = 50 μ 0 π l n 3 M=\frac{50\mu_0}{\pi}ln3 M = π 50 μ 0 l n 3 이다. 따라서 답은 3번 이다.
21번 τ = R C = ρ ε \tau=RC=\rho\varepsilon τ = RC = ρε 이다. 따라서 저항을 구하면
R = ρ ε C = 1 0 1 1 × 20 × 1 0 − 12 20 × 1 0 − 6 = 1 0 5 Ω \begin{equation} \begin{split} R&=\frac{\rho\varepsilon}{C}\\ &=\frac{10^11\times 20\times 10^{-12}}{20\times 10^{-6}}\\ &=10^5 \text{ }\Omega \end{split} \end{equation} R = C ρε = 20 × 1 0 − 6 1 0 1 1 × 20 × 1 0 − 12 = 1 0 5 Ω 이므로 누설 전류는
I = 500 × 1 0 3 1 0 5 = 5 A \begin{equation} \begin{split} I&=\frac{500\times 10^3}{10^5}\\ &=5\text{ A} \end{split} \end{equation} I = 1 0 5 500 × 1 0 3 = 5 A 이고 답은 4번 이다.
22번 e m f = − d Φ d t = − 1 × 1 × 4 π × 1 0 − 7 × ( − 100 ) s i n ( 10 t ) = 400 π × 1 0 − 7 s i n ( 10 t ) \begin{equation} \begin{split} emf&=-\frac{d\Phi}{dt}\\ &=-1\times 1\times 4\pi\times10^{-7}\times (-100)sin(10t)\\ &=400\pi\times 10^{-7}sin(10t) \end{split} \end{equation} e m f = − d t d Φ = − 1 × 1 × 4 π × 1 0 − 7 × ( − 100 ) s in ( 10 t ) = 400 π × 1 0 − 7 s in ( 10 t ) 이므로 답은 4번 이다.
23번 B = ∇ × A ⃗ B=\nabla\times\vec{A} B = ∇ × A 이므로
B ⃗ = ∣ a x ⃗ a y ⃗ a z ⃗ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y z x y − x z ∣ = a y ⃗ ( y + z ) + a z ⃗ ( y − z ) \begin{equation} \begin{split} \vec{B}&=\begin{vmatrix} \vec{a_x}&\vec{a_y}&\vec{a_z}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ yz&xy&-xz \end{vmatrix}\\ &=\vec{a_y}(y+z)+\vec{a_z}(y-z) \end{split} \end{equation} B = ∣ ∣ a x ∂ x ∂ yz a y ∂ y ∂ x y a z ∂ z ∂ − x z ∣ ∣ = a y ( y + z ) + a z ( y − z ) 이다. 따라서 구하려는 자속은
Φ = ∫ 0 2 ∫ 0 2 B ⃗ ⋅ d x d z a y ⃗ = ∫ 0 2 ∫ 0 2 z d x d z = [ 2 × z 2 2 ] 0 2 = 4 \begin{equation} \begin{split} \Phi&=\int_0 ^2 \int_0 ^2 \vec{B} \cdot dxdz \vec{a_y}\\ &=\int_0 ^2 \int_0 ^2 zdxdz\\ &=\left[2\times\frac{z^2}{2}\right]_0^2\\ &=4 \end{split} \end{equation} Φ = ∫ 0 2 ∫ 0 2 B ⋅ d x d z a y = ∫ 0 2 ∫ 0 2 z d x d z = [ 2 × 2 z 2 ] 0 2 = 4 이므로 답은 3번 이다.
24번 주어진 직선에 수직인 방향벡터는
a ⊥ ⃗ = 1 3 ( a x ⃗ − 2 a y ⃗ + 2 a z ⃗ ) \vec{a_\bot}=\frac{1}{3}(\vec{a_x}-2\vec{a_y}+2\vec{a_z}) a ⊥ = 3 1 ( a x − 2 a y + 2 a z ) 이다. 따라서 H 1 ⃗ \vec{H_1} H 1
H 1 ⊥ = H 1 ⃗ ⋅ a ⊥ ⃗ = 1 3 ⇒ H 1 ⊥ ⃗ = 1 3 × 1 3 ( a x ⃗ − 2 a y ⃗ + 2 a z ⃗ ) = 1 9 a x ⃗ − 2 9 a y ⃗ + 2 9 a z ⃗ \begin{equation} \begin{split} H_{1\bot}&=\vec{H_1}\cdot\vec{a_\bot}\\ &=\frac{1}{3}\\ \Rightarrow \vec{H_{1\bot}}&=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}(\vec{a_x}-2\vec{a_y}+2\vec{a_z})\\ &=\frac{1}{9}\vec{a_x}-\frac{2}{9}\vec{a_y}+\frac{2}{9}\vec{a_z} \end{split} \end{equation} H 1⊥ ⇒ H 1⊥ = H 1 ⋅ a ⊥ = 3 1 = 3 1 × 3 1 ( a x − 2 a y + 2 a z ) = 9 1 a x − 9 2 a y + 9 2 a z 그러므로 H 1 ⃗ \vec{H_1} H 1
H 1 ∥ ⃗ = H 1 ⃗ − H 1 ⊥ ⃗ = a x ⃗ − 1 3 × 1 3 ( a x ⃗ − 2 a y ⃗ + 2 a z ⃗ ) = 8 9 a x ⃗ + 2 9 a y ⃗ − 2 9 a z ⃗ \begin{equation} \begin{split} \vec{H_{1\parallel}}&=\vec{H_1}-\vec{H_{1\bot}}\\ &=\vec{a_x}-\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}(\vec{a_x}-2\vec{a_y}+2\vec{a_z})\\ &=\frac{8}{9}\vec{a_x}+\frac{2}{9}\vec{a_y}-\frac{2}{9}\vec{a_z} \end{split} \end{equation} H 1 ∥ = H 1 − H 1⊥ = a x − 3 1 × 3 1 ( a x − 2 a y + 2 a z ) = 9 8 a x + 9 2 a y − 9 2 a z 이다.
경계조건에 의해서
B 1 ⊥ ⃗ = B 2 ⊥ ⃗ ⇒ 2 H 2 ⊥ ⃗ = 1 H 1 ⊥ ⃗ ⇒ 2 H 2 ⊥ ⃗ = 1 9 a x ⃗ − 2 9 a y ⃗ + 2 9 a z ⃗ ⇒ H 2 ⊥ ⃗ = 1 18 a x ⃗ − 2 18 a y ⃗ + 2 18 a z ⃗ \begin{equation} \begin{split} \vec{B_{1\bot}}&=\vec{B_{2\bot}}\\ \Rightarrow 2\vec{H_{2\bot}}&=1\vec{H_{1\bot}}\\ \Rightarrow 2\vec{H_{2\bot}}&=\frac{1}{9}\vec{a_x}-\frac{2}{9}\vec{a_y}+\frac{2}{9}\vec{a_z}\\ \Rightarrow \vec{H_{2\bot}}&=\frac{1}{18}\vec{a_x}-\frac{2}{18}\vec{a_y}+\frac{2}{18}\vec{a_z} \end{split} \end{equation} B 1⊥ ⇒ 2 H 2⊥ ⇒ 2 H 2⊥ ⇒ H 2⊥ = B 2⊥ = 1 H 1⊥ = 9 1 a x − 9 2 a y + 9 2 a z = 18 1 a x − 18 2 a y + 18 2 a z 그리고
H 1 ∥ ⃗ = H 2 ∥ ⃗ ⇒ H 2 ∥ ⃗ = 8 9 a x ⃗ + 2 9 a y ⃗ − 2 9 a z ⃗ \begin{equation} \begin{split} \vec{H_{1\parallel}}&=\vec{H_{2\parallel}}\\ \Rightarrow \vec{H_{2\parallel}}&=\frac{8}{9}\vec{a_x}+\frac{2}{9}\vec{a_y}-\frac{2}{9}\vec{a_z} \end{split} \end{equation} H 1 ∥ ⇒ H 2 ∥ = H 2 ∥ = 9 8 a x + 9 2 a y − 9 2 a z 이다. 따라서
H 2 ⃗ = H 2 ⊥ ⃗ + H 2 ∥ ⃗ = 1 18 ( a x ⃗ 17 + a y ⃗ 2 − a z ⃗ 2 ) \begin{equation} \begin{split} \vec{H_2}&=\vec{H_{2\bot}}+\vec{H_{2\parallel}}\\ &=\frac{1}{18}(\vec{a_x}17+\vec{a_y}2-\vec{a_z}2) \end{split} \end{equation} H 2 = H 2⊥ + H 2 ∥ = 18 1 ( a x 17 + a y 2 − a z 2 ) 이므로 답은 4번 이다.
25번 ε r = 4 \varepsilon_r=4 ε r = 4 60 π Ω 60\pi\text{ }\Omega 60 π Ω 3 2 × 1 0 8 \frac{3}{2}\times10^8 2 3 × 1 0 8
β = ω v ⇒ ω = 10 π × 3 2 × 1 0 8 = 15 π × 1 0 8 \begin{equation} \begin{split} \beta&=\frac{\omega}{v}\\ \Rightarrow \omega&=10\pi\times \frac{3}{2}\times10^8\\ &=15\pi\times10^8 \end{split} \end{equation} β ⇒ ω = v ω = 10 π × 2 3 × 1 0 8 = 15 π × 1 0 8 이다. 진행방향은 + a z ⃗ +\vec{a_z} + a z
H ⃗ = a y ⃗ 1 60 π c o s ( 15 π × 1 0 8 t − 10 π z ) \vec{H}=\vec{a_y}\frac{1}{60\pi}cos(15\pi\times10^8t-10\pi z) H = a y 60 π 1 cos ( 15 π × 1 0 8 t − 10 π z ) 이고 답은 1번 이다.