2023 7급 국가직 통신이론 1번 인과성이란 출력이 미래 값에 의존하지 않는다, 즉 현재와 과거 값으로부터만 구성된다는 성질이다. 입력 신호를 x ( t ) x(t) x ( t ) h ( t ) h(t) h ( t ) y ( t ) y(t) y ( t ) y ( t ) = h ( t ) ∗ x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) x ( t − τ ) d τ \begin{equation} \begin{split} y(t)&=h(t)*x(t)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau \end{split} \end{equation} y ( t ) = h ( t ) ∗ x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) x ( t − τ ) d τ t t t t − τ > t ⇔ τ < 0 t-\tau\gt t \Leftrightarrow \tau\lt 0 t − τ > t ⇔ τ < 0 y ( t ) y(t) y ( t ) h ( τ < 0 ) = 0 h(\tau\lt0)=0 h ( τ < 0 ) = 0 그렇다. 입력과 임펄스 응답과 입력의 콘볼루션이 출력이다. 이는 입력을 임펄스들로 나타내고, 각각의 임펄스들에 대한 응답을 다 더하는 것으로 생각할 수 있다. 그렇지 않다. 출력도 y ( t − t 0 ) y(t-t_0) y ( t − t 0 ) 그렇다. 선형성 때문이다. 따라서 답은 3번 이다.
2번 고등학교에서 배워서 알고 있듯이
V a r ( X ) = E [ ( X − m X ) 2 ] = E [ X 2 − 2 X m X + m X 2 ] = E [ X 2 ] − 2 E [ X ] m X + m X 2 = E [ X 2 ] − 2 m X 2 + m X 2 = E [ X 2 ] − m X 2 = E [ X 2 − m X 2 ] \begin{equation} \begin{split} Var(X)&=E[(X-m_X)^2]\\ &=E[X^2-2Xm_X+m_X^2]\\ &=E[X^2]-2E[X]m_X+m_X^2\\ &=E[X^2]-2m_X^2+m_X^2\\ &=E[X^2]-m_X^2\\ &=E[X^2-m_X^2] \end{split} \end{equation} Va r ( X ) = E [( X − m X ) 2 ] = E [ X 2 − 2 X m X + m X 2 ] = E [ X 2 ] − 2 E [ X ] m X + m X 2 = E [ X 2 ] − 2 m X 2 + m X 2 = E [ X 2 ] − m X 2 = E [ X 2 − m X 2 ] 이므로 답은 3번 이다.
3번 확률분포함수란 표현은 처음 본다. 보통은 누적분포함수(cumulative distribution function;cdf)라고 한다. 아무튼
F X ( x ) = ∫ − ∞ x f X ( x ~ ) d x ~ F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(\tilde{x})d\tilde{x} F X ( x ) = ∫ − ∞ x f X ( x ~ ) d x ~ 이므로
F X ( x ) = { 0 if x < − 1 ∫ − 1 x ( a ( x + 1 ) ) d x = ∫ 0 x + 1 a x d x = a 2 ( x + 1 ) 2 if − 1 ≤ x ≤ 2 1 if x > 2 F_X(x)= \begin{cases} 0 &\text{if } x\lt -1\\ \int_{-1}^{x}(a(x+1))dx=\int_0^{x+1} axdx=\frac{a}{2}(x+1)^2 &\text{if } -1\le x \le 2\\ 1 &\text{if }x\gt 2 \end{cases} F X ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 ∫ − 1 x ( a ( x + 1 )) d x = ∫ 0 x + 1 a x d x = 2 a ( x + 1 ) 2 1 if x < − 1 if − 1 ≤ x ≤ 2 if x > 2 이다. 식 형태만 봐도 답은 1번 임은 알 수 있긴 하지만 a a a F X ( 2 ) = 1 F_X(2)=1 F X ( 2 ) = 1
a 2 ( 3 2 ) = 1 ⇒ a = 2 9 \begin{equation} \begin{split} \frac{a}{2}(3^2)&=1\\ \Rightarrow a&=\frac{2}{9} \end{split} \end{equation} 2 a ( 3 2 ) ⇒ a = 1 = 9 2 이므로 답은 1번이 확실하다.
4번 대역폭은 양수 주파수 범위만을 따진다. 충분히 큰 반송파 주파수로 DSB-SC 변조하게 되면 기저대역에서 음의 주파수 부분도 양수 부분으로 끌려나오게 되므로 양수 범위에서 주파수 스펙트럼은 [ − W + f c , W + f c ] [-W+f_c,W+f_c] [ − W + f c , W + f c ] 2 W 2W 2 W 3번 이다.
5번 위상을 미분하면 순시 각주파수가 나오고 이를 2 π 2\pi 2 π
ϕ ( t ) = 2 π f c t + 20 π s i n ( 5 t ) ω = d ϕ ( t ) d t = 2 π f c + 100 π c o s ( 5 t ) f = ω 2 π = f c + 50 c o s ( 5 t ) \begin{equation} \begin{split} \phi(t)&=2\pi f_c t+20\pi sin(5t)\\ \omega&=\frac{d\phi(t)}{dt}\\ &=2\pi f_c+100\pi cos(5t)\\ f&=\frac{\omega}{2\pi}\\ &=f_c+50cos(5t) \end{split} \end{equation} ϕ ( t ) ω f = 2 π f c t + 20 π s in ( 5 t ) = d t d ϕ ( t ) = 2 π f c + 100 π cos ( 5 t ) = 2 π ω = f c + 50 cos ( 5 t ) 이므로 답은 4번 이다.
6번 채널 용량은 입력을 X X X Y Y Y
C = m a x P [ X ] I ( X ; Y ) = m a x ( H ( Y ) − H ( Y ∣ X ) ) \begin{equation} \begin{split} C&=max_{P[X]} I(X;Y)\\ &=max(H(Y)-H(Y|X)) \end{split} \end{equation} C = ma x P [ X ] I ( X ; Y ) = ma x ( H ( Y ) − H ( Y ∣ X )) 이진 대칭 채널에서
H ( Y ∣ X ) = − ∑ x ∑ y P ( X = x , Y = y ) l o g 2 P ( Y = y ∣ X = x ) = − ( p 2 l o g 2 p + p 2 l o g 2 p + 1 − p 2 l o g 2 ( 1 − p ) + 1 − p 2 l o g 2 ( 1 − p ) ) = − ( p l o g 2 p + ( 1 − p ) l o g 2 ( 1 − p ) ) \begin{equation} \begin{split} H(Y|X)&=-\sum_x \sum_y P(X=x,Y=y)log_2 P(Y=y|X=x)\\ &=-\left(\frac{p}{2}log_2 p+\frac{p}{2}log_2 p+\frac{1-p}{2}log_2(1-p)+\frac{1-p}{2}log_2(1-p)\right)\\ &=-(plog_2 p+(1-p)log_2(1-p)) \end{split} \end{equation} H ( Y ∣ X ) = − x ∑ y ∑ P ( X = x , Y = y ) l o g 2 P ( Y = y ∣ X = x ) = − ( 2 p l o g 2 p + 2 p l o g 2 p + 2 1 − p l o g 2 ( 1 − p ) + 2 1 − p l o g 2 ( 1 − p ) ) = − ( pl o g 2 p + ( 1 − p ) l o g 2 ( 1 − p )) 이다. 위 값은 P [ X ] P[X] P [ X ] H ( Y ) H(Y) H ( Y ) P [ Y = y ] = 1 2 P[Y=y]=\frac{1}{2} P [ Y = y ] = 2 1
C = m a x P [ X ] ( H ( Y ) + ( p l o g 2 p + ( 1 − p ) l o g 2 ( 1 − p ) ) ) = m a x P [ X ] H ( Y ) + ( p l o g 2 p + ( 1 − p ) l o g 2 ( 1 − p ) ) = 1 + ( p l o g 2 p + ( 1 − p ) l o g 2 ( 1 − p ) ) \begin{equation} \begin{split} C&=max_{P[X]}\left(H(Y)+(plog_2 p+(1-p)log_2(1-p))\right)\\ &=max_{P[X]}H(Y)+(plog_2 p+(1-p)log_2(1-p))\\ &=1+(plog_2 p+(1-p)log_2(1-p)) \end{split} \end{equation} C = ma x P [ X ] ( H ( Y ) + ( pl o g 2 p + ( 1 − p ) l o g 2 ( 1 − p )) ) = ma x P [ X ] H ( Y ) + ( pl o g 2 p + ( 1 − p ) l o g 2 ( 1 − p )) = 1 + ( pl o g 2 p + ( 1 − p ) l o g 2 ( 1 − p )) 이다.
C ( 1 ) = 1 + 1 ⋅ 0 + ( 1 − p ) ⋅ l o g 2 ( 1 − p ) ∣ p → 1 = 1 + 0 + 0 = 1 C(1)=1+1\cdot 0+(1-p)\cdot log_2(1-p)|_{p\rightarrow 1}=1+0+0=1 C ( 1 ) = 1 + 1 ⋅ 0 + ( 1 − p ) ⋅ l o g 2 ( 1 − p ) ∣ p → 1 = 1 + 0 + 0 = 1 1 − p 1-p 1 − p l o g 2 ( 1 − p ) log_2(1-p) l o g 2 ( 1 − p ) − ∞ -\infty − ∞ C ( 0.5 ) = 1 + 0.5 l o g 2 0.5 + 0.5 l o g 2 0.5 = 1 + l o g 2 0.5 = 1 − 1 = 0 C(0.5)=1+0.5 log_2 0.5+0.5 log_2 0.5=1+log_2 0.5=1-1=0 C ( 0.5 ) = 1 + 0.5 l o g 2 0.5 + 0.5 l o g 2 0.5 = 1 + l o g 2 0.5 = 1 − 1 = 0 C ( 0 ) = 1 + p ⋅ l o g 2 p ∣ p → 0 + 1 ⋅ 0 = 1 C(0)=1+p\cdot log_2p|_{p\rightarrow 0}+1\cdot 0=1 C ( 0 ) = 1 + p ⋅ l o g 2 p ∣ p → 0 + 1 ⋅ 0 = 1 위에서 구한 식과 형태가 다르다. 따라서 답은 1번 이다.
7번 I ( X = x 1 x 3 x 4 ) = − l o g 2 1 2 1 8 1 8 = − l o g 2 1 128 = 7 \begin{equation} \begin{split} I(X=x_1x_3x_4)&=-log_2\frac{1}{2}\frac{1}{8}\frac{1}{8}\\ &=-log_2 \frac{1}{128}\\ &=7 \end{split} \end{equation} I ( X = x 1 x 3 x 4 ) = − l o g 2 2 1 8 1 8 1 = − l o g 2 128 1 = 7 이다. 따라서 답은 4번 이다.
8번 동기 복조는 당연히 가능하다. DSB 변조하면 기저대역의 메시지의 주파수 스펙트럼 중 음의 주파수 영역도 양의 주파수 영역으로 끌려나오기 때문에 대역폭이 2배가 된다. 변조하게 되면 [ − W + f c , W + f c ] [-W+f_c,W+f_c] [ − W + f c , W + f c ] [ − W − f c , W − f c ] [-W-f_c,W-f_c] [ − W − f c , W − f c ] − W + f c > W − f c ⇔ f c > W -W+f_c\gt W-f_c \Leftrightarrow f_c\gt W − W + f c > W − f c ⇔ f c > W 그렇다. 포락선은 양의 부분이기 때문이다. 따라서 답은 2번 이다.
9번 그렇다. 선형 변조는 AM이다. 이는 각 변조는 삼각함수 안의 값에 메시지가 들어가는데, 삼각함수가 비선형 함수이기 때문이다. 그렇다. 반송파의 진폭에만 의존한다. 그렇다. 그렇지 않다. PM의 경우에는 순시 위상이 2 π f c t ± A 2\pi f_c t\pm A 2 π f c t ± A f c f_c f c f c ± B f_c\pm B f c ± B 따라서 답은 4번 이다.
10번 최소 전송 속도는
B = 30 × 2 × 1 0 6 × l o g 2 16 = 60 × 4 × 1 0 6 = 240 Mbps \begin{equation} \begin{split} B&=30\times 2\times 10^6 \times log_2 {16}\\ &=60\times 4 \times 10^6\\ &=240\text{ Mbps} \end{split} \end{equation} B = 30 × 2 × 1 0 6 × l o g 2 16 = 60 × 4 × 1 0 6 = 240 Mbps 이므로 답은 2번 이다.
11번 SSB가 가장 대역폭이 좁다. VSB는 한 측파대는 그대로, 다른 측파대의 일부 잔류이므로 중간이다. 따라서 답은 1번 이다.
12번 E [ Y ] = E [ 0.2 X − 0.1 ] = 0.2 E [ X ] − 0.1 E[Y]=E[0.2X-0.1]=0.2E[X]-0.1 E [ Y ] = E [ 0.2 X − 0.1 ] = 0.2 E [ X ] − 0.1 E [ X + Y ] = E [ 1.2 X − 0.1 ] = 1.2 E [ X ] − 0.1 E[X+Y]=E[1.2X-0.1]=1.2E[X]-0.1 E [ X + Y ] = E [ 1.2 X − 0.1 ] = 1.2 E [ X ] − 0.1 Z = a W + b Z=aW+b Z = aW + b W W W σ W \sigma_W σ W b = 0 b=0 b = 0 V a r [ Z ] = E [ Z 2 ] − ( E [ Z ] ) 2 = E [ Z 2 ] = E [ a 2 W 2 ] = a 2 E [ W 2 ] \begin{equation} \begin{split} Var[Z]&=E[Z^2]-(E[Z])^2\\ &=E[Z^2]\\ &=E[a^2W^2]\\ &=a^2E[W^2] \end{split} \end{equation} Va r [ Z ] = E [ Z 2 ] − ( E [ Z ] ) 2 = E [ Z 2 ] = E [ a 2 W 2 ] = a 2 E [ W 2 ] a a a a a a V a r [ Y ] = 0.04 V a r [ X ] Var[Y]=0.04Var[X] Va r [ Y ] = 0.04 Va r [ X ] V a r [ X + Y ] = V a r [ 1.2 X − 0.1 ] = 1.44 V a r [ X ] Var[X+Y]=Var[1.2X-0.1]=1.44Var[X] Va r [ X + Y ] = Va r [ 1.2 X − 0.1 ] = 1.44 Va r [ X ] 따라서 답은 2번 이다.
13번 전력 스펙트럼 밀도는 자기상관함수의 푸리에 변환이다. 그리고 출력 전력 스펙트럼 밀도는 입력 전력 스펙트럼 밀도에 ∣ H ( f ) ∣ 2 |H(f)|^2 ∣ H ( f ) ∣ 2 ∣ H ( f ) ∣ |H(f)| ∣ H ( f ) ∣ ∣ H ( f ) ∣ 2 = ∣ H ( f ) ∣ |H(f)|^2=|H(f)| ∣ H ( f ) ∣ 2 = ∣ H ( f ) ∣ ∣ H ( f ) ∣ |H(f)| ∣ H ( f ) ∣ 2 f 1 s i n c ( 2 f 1 τ ) 2f_1 sinc(2f_1 \tau) 2 f 1 s in c ( 2 f 1 τ ) N 0 2 \frac{N_0}{2} 2 N 0 N 0 2 δ ( τ ) \frac{N_0}{2}\delta(\tau) 2 N 0 δ ( τ )
R ( τ ) = 2 f 1 s i n c ( 2 f 1 τ ) ∗ N 0 2 δ ( τ ) = N 0 f 1 s i n c ( 2 f 1 τ ) \begin{equation} \begin{split} R(\tau)&=2f_1 sinc(2f_1 \tau)*\frac{N_0}{2}\delta(\tau)\\ &=N_0 f_1sinc(2f_1 \tau) \end{split} \end{equation} R ( τ ) = 2 f 1 s in c ( 2 f 1 τ ) ∗ 2 N 0 δ ( τ ) = N 0 f 1 s in c ( 2 f 1 τ ) 이므로 답은 1번 이다.
14번 그렇다. 여러 신호를 다중화해서 보내는 방법임과 동시에 변조하는 방법이다. 그렇다. 그렇다. 부반송파들의 위상이 같은 순간에 진폭이 커지게 된다. 송신 시 IDFT를 한 다음 CP를 붙인다.
따라서 답은 4번 이다. 15번 ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s) ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) T s T_s T s
S [ k ] = 1 T s ∫ − T s 2 T s 2 ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) e j 2 π T s k t d t = 1 T s ∫ − T s 2 T S 2 δ ( t ) e j 2 π T s k t d t = 1 T s ∫ − T s 2 T S 2 δ ( t ) e j 2 π T s k ⋅ 0 d t = 1 T s ∫ − T s 2 T S 2 δ ( t ) d t = 1 T s = f s \begin{equation} \begin{split} S[k]&=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)e^{j\frac{2\pi}{T_s}kt}dt\\ &=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_S}{2}}\delta(t)e^{j\frac{2\pi}{T_s}kt}dt\\ &=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_S}{2}}\delta(t)e^{j\frac{2\pi}{T_s}k\cdot 0}dt\\ &=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_S}{2}}\delta(t)dt\\ &=\frac{1}{T_s}\\ &=f_s \end{split} \end{equation} S [ k ] = T s 1 ∫ − 2 T s 2 T s n = − ∞ ∑ ∞ δ ( t − n T s ) e j T s 2 π k t d t = T s 1 ∫ − 2 T s 2 T S δ ( t ) e j T s 2 π k t d t = T s 1 ∫ − 2 T s 2 T S δ ( t ) e j T s 2 π k ⋅ 0 d t = T s 1 ∫ − 2 T s 2 T S δ ( t ) d t = T s 1 = f s 따라서
∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) = ∑ k = − ∞ ∞ f s e j 2 π T s k t = ∑ n = − ∞ ∞ f s e j 2 π f s n t \begin{equation} \begin{split} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f_s e^{j\frac{2\pi}{T_s}kt}\\ =\sum_{n=-\infty}^{\infty}f_s e^{j2\pi f_snt} \end{split} \end{equation} n = − ∞ ∑ ∞ δ ( t − n T s ) = n = − ∞ ∑ ∞ f s e j 2 π f s n t = k = − ∞ ∑ ∞ f s e j T s 2 π k t 이다. (마지막에 k k k n n n
F { ∑ n = − ∞ ∞ f s e j 2 π f s n t } = ∫ − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ f s e j 2 π f s n t e − j 2 π f t d t = f s ∑ n = − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e j 2 π ( n f s − f ) t d t = f s ∑ n = − ∞ ∞ δ ( f − n f s ) \begin{equation} \begin{split} \mathcal{F} \left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}f_s e^{j2\pi f_snt} \right\} &= \int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f_s e^{j2\pi f_snt} e^{-j2\pi ft}dt\\ &=f_s\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}e^{j2\pi (nf_s-f)t}dt\\ &=f_s\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(f-nf_s) \end{split} \end{equation} F { n = − ∞ ∑ ∞ f s e j 2 π f s n t } = ∫ − ∞ ∞ n = − ∞ ∑ ∞ f s e j 2 π f s n t e − j 2 π f t d t = f s n = − ∞ ∑ ∞ ∫ − ∞ ∞ e j 2 π ( n f s − f ) t d t = f s n = − ∞ ∑ ∞ δ ( f − n f s ) 이다. 여기서
∫ − ∞ ∞ e j 2 π f t d t = δ ( f ) \int_{-\infty}^{\infty}e^{j2\pi ft}dt=\delta(f) ∫ − ∞ ∞ e j 2 π f t d t = δ ( f ) 를 이용하였다.
이제 g δ ( t ) g_{\delta}(t) g δ ( t )
F { g δ ( t ) } = G ( f ) ∗ f s ∑ n = − ∞ ∞ δ ( f − n f s ) = f s ∑ n = − ∞ ∞ G ( f − n f s ) \begin{equation} \begin{split} \mathcal{F}\{g_\delta(t)\}&=G(f)*f_s\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(f-nf_s)\\ &=f_s\sum_{n=-\infty}^{\infty}G(f-nf_s) \end{split} \end{equation} F { g δ ( t )} = G ( f ) ∗ f s n = − ∞ ∑ ∞ δ ( f − n f s ) = f s n = − ∞ ∑ ∞ G ( f − n f s ) 이므로 답은 3번 이다.
16번 그렇다. 급수는 주기 신호, 즉 주파수가 주기의 역수인 기본 주파수와 그 배수들로 이루어진 신호에 대한 분석이다. 그렇다. 그렇다. 디리클레 조건은∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt\lt\infty ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ 따라서 답은 4번 이다.
17번 스펙트럼 효율은 대역폭 대비 얼마나 많은 신호를 보낼 수 있는가 하는 것, 즉 한 심볼당 얼마나 많은 비트가 실리는가 하는 것이다. M M M 주파수가 아닌 위상 정보이다. 최소 거리 간격이 멀어진다면 신호 전력이 더 커진다. 따라서 SNR이 높아진다. 같다. 따라서 답은 3번 이다.
18번 m 2 ( t ) m^2(t) m 2 ( t ) M ( f ) ∗ M ( f ) M(f)*M(f) M ( f ) ∗ M ( f ) M ( f ) M(f) M ( f ) M ( f ) M(f) M ( f )
F { c o s 2 ( 2 π f t ) } = F { 1 2 ( c o s ( 4 π f t ) + 1 ) } \mathcal{F}\{cos^2(2\pi ft)\}=\mathcal{F} \left\{\frac{1}{2}(cos(4\pi ft)+1) \right\} F { co s 2 ( 2 π f t )} = F { 2 1 ( cos ( 4 π f t ) + 1 ) } 이므로 주파수가 2배가 되는 것을 볼 수 있다.
아무튼 m 2 ( t ) m^2(t) m 2 ( t ) [ − 2000 , 2000 ] [-2000,2000] [ − 2000 , 2000 ] 2번 이다.
19번 설명을 봐도 직관적으로 이해하기 어려운 문제일 것 같다. 고시 합격자한테 물어봤는데 그 형도 잘 납득하진 못했었다고 한다. 먼저 심볼 에러를 생각해보자. k k k 2 k − 1 2^k-1 2 k − 1 2 k 2^k 2 k 2 k − 1 2^{k-1} 2 k − 1
P b P s = 2 k − 1 2 k − 1 = M / 2 M − 1 = 4 7 \begin{equation} \begin{split} \frac{P_b}{P_s}&=\frac{2^{k-1}}{2^k-1}\\ &=\frac{M/2}{M-1}\\ &=\frac{4}{7} \end{split} \end{equation} P s P b = 2 k − 1 2 k − 1 = M − 1 M /2 = 7 4 이다. 그러므로 답은 2번 이다.
20번 주어진 패리티 검사 행렬에서 단위행렬 부분을 제거하면
P T = ( 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 ) P^T=\left( \begin{matrix} 1&0&1&1\\ 1&1&1&0\\ 0&1&1&1 \end{matrix} \right) P T = ⎝ ⎛ 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 ⎠ ⎞ 이다. 따라서
P = ( 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 ) P=\left( \begin{matrix} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 1&1&1\\ 1&0&1 \end{matrix} \right) P = ⎝ ⎛ 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 ⎠ ⎞ 이다. 그러므로 생성행렬은
G = ( P I ) = ( 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ) \begin{equation} \begin{split} G&=\left( \begin{matrix} P&I \end{matrix} \right)\\ &=\left( \begin{matrix} 1&1&0&1&0&0&0\\ 0&1&1&0&1&0&0\\ 1&1&1&0&0&1&0\\ 1&0&1&0&0&0&1 \end{matrix} \right) \end{split} \end{equation} G = ( P I ) = ⎝ ⎛ 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ 이를 이용해서 부호어를 구해보면
c = M G = ( 1 0 0 1 ) ( 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ) = ( 0 1 1 1 0 0 1 ) \begin{equation} \begin{split} c&=MG\\ &=(\begin{matrix} 1&0&0&1 \end{matrix} )\left(\begin{matrix} 1&1&0&1&0&0&0\\ 0&1&1&0&1&0&0\\ 1&1&1&0&0&1&0\\ 1&0&1&0&0&0&1 \end{matrix} \right)\\ &=(\begin{matrix} 0&1&1&1&0&0&1 \end{matrix}) \end{split} \end{equation} c = MG = ( 1 0 0 1 ) ⎝ ⎛ 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ = ( 0 1 1 1 0 0 1 ) 이므로 답은 3번 이다.
21번 H ( f ) = 0.5 e − j 2 π f × 1 2 H(f)=0.5e^{-j2\pi f\times\frac{1}{2}} H ( f ) = 0.5 e − j 2 π f × 2 1 이다. 따라서 이러한 시스템의 출력은 입력 대비 시간 지연이 1 2 \frac{1}{2} 2 1 2번 이다.
22번 그렇지 않다. 심볼 에너지가 동일하면 QPSK의 비트당 에너지는 BPSK의 절반이다. 즉 서로 다른 비트 심볼과의 거리가 절반이 되므로 오류확률이 더 크다. I채널과 Q채널이 독립이라 비트오류확률이 같다는 명제는 비트당 에너지가 동일할 때 성립한다. 그렇다. 심볼당 실리는 비트가 두 배이기 때문이다. 그렇다. 그렇다. 따라서 답은 1번 이다.
23번 모두 -1인 수열은 제외해야 하므로 2 m − 1 2^m-1 2 m − 1 한 주기 내에서 이 때에는, 그리고 이 때에만 코드의 자기상관이 최대가 된다. 1이든 -1이든 다 제곱되어서 더해지기 때문이다. 이외의 경우에는 똑같이 자기상관이 -1이다. 그렇다. 이를 Balance Property라고 한다. 나타날 수 있다. 안 그러면 코드는 1로 시작하는 거 하나, -1로 시작하는 거 하나 해서 총 두 개밖에 없을 것이다. 오히려 Run Property에 의해 연속으로 나타나는 규칙이 있다. 따라서 답은 3번 이다.
24번 x ( t ) x(t) x ( t ) X n = 1 T s ∫ 0 T s x ( t ) e − j 2 π T s n t d t X_n=\frac{1}{T_s}\int_0^{T_s}x(t)e^{-j\frac{2\pi}{T_s}nt}dt X n = T s 1 ∫ 0 T s x ( t ) e − j T s 2 π n t d t X − n = 1 T s ∫ 0 T s x ( t ) e + j 2 π T s n t d t = X n ∗ X_{-n}=\frac{1}{T_s}\int_0^{T_s}x(t)e^{+j\frac{2\pi}{T_s}nt}dt=X_n^* X − n = T s 1 ∫ 0 T s x ( t ) e + j T s 2 π n t d t = X n ∗ x ( t ) x(t) x ( t ) 기본 주파수는 주기의 역수이므로 5 Hz이다. X 3 = − j π X_3=-\frac{j}{\pi} X 3 = − π j 1 π \frac{1}{\pi} π 1 X 5 = − 3 j 5 π X_5=-\frac{3j}{5\pi} X 5 = − 5 π 3 j − π 2 -\frac{\pi}{2} − 2 π 따라서 답은 4번 이다.
25번 복호에러확률은 전체 확률에서 모두 맞을 확률과 하나가 틀릴 확률을 뺀 것이다. 따라서
P e = 1 − 0. 8 3 − 3 × 0.2 × 0. 8 2 = 1 − 64 125 − 3 × 1 5 × 16 25 = 1 − 64 + 48 125 = 13 125 \begin{equation} \begin{split} P_e&=1-0.8^3-3\times0.2\times0.8^2\\ &=1-\frac{64}{125}-3\times\frac{1}{5}\times\frac{16}{25}\\ &=1-\frac{64+48}{125}\\ &=\frac{13}{125} \end{split} \end{equation} P e = 1 − 0. 8 3 − 3 × 0.2 × 0. 8 2 = 1 − 125 64 − 3 × 5 1 × 25 16 = 1 − 125 64 + 48 = 125 13 이므로 답은 1번 이다.