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2022 7급 서울시 전기자기학

1번

점 P에서 점 Q로 가는 경로를 다음과 같이 생각해보자.

P(1,1,1)→(1,1,2)→(1,2,2)→Q(2,2,2)P(1,1,1) \rightarrow (1,1,2) \rightarrow (1,2,2) \rightarrow Q(2,2,2)

이를 따라 주어진 정전기장을 선적분하면 점 P를 기준으로 한 점 Q의 전위가 나온다.

VQP=−∫P(1,1,1)Q(2,2,2)E⃗⋅dl⃗=−∫PQ(i^+2zj^+2k^)⋅dzk^−∫PQ(i^+4j^+2yk^)⋅dyj^−∫PQ(xi^+4j^+4k^)⋅dxi^=−∫122dz−∫124dy−∫12xdx=−2(2−1)−4(2−1)−[x22]12=−2−4−32=−6−32\begin{equation} \begin{split} V_{QP}&=-\int_{P(1,1,1)}^{Q(2,2,2)} \vec{E} \cdot d\vec{l}\\ &=-\int_P^Q(\hat{i}+2z\hat{j}+2\hat{k})\cdot dz\hat{k}-\int_P^Q(\hat{i}+4\hat{j}+2y\hat{k})\cdot dy\hat{j}-\int_P^Q(x\hat{i}+4\hat{j}+4\hat{k})\cdot dx\hat{i}\\ &=-\int_1^2 2 dz-\int_1^2 4dy -\int_1^2 xdx\\ &=-2(2-1)-4(2-1)-\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^2\\ &=-2-4-\frac{3}{2}\\ &=-6-\frac{3}{2} \end{split} \end{equation}

그런데 점 P에서의 전위가 52\frac{5}{2}이므로 점 P에서의 전위는 이 값과 위에서 구한 값의 합이다. 따라서

VQ=52−6−32=1−6=−5\begin{equation} \begin{split} V_Q&=\frac{5}{2}-6-\frac{3}{2}\\ &=1-6\\ &=-5 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 4번 이다.

2번

커패시턴스 C=QVC=\frac{Q}{V} 의 정의이므로 답은 1번 이다.

3번

총 커패시턴스는

C=Q1+Q2+Q3V=Q1V+Q2V+Q3V=CI+CII+CIII=2+4+6=12\begin{equation} \begin{split} C&=\frac{Q_1+Q_2+Q_3}{V}\\ &=\frac{Q_1}{V}+\frac{Q_2}{V}+\frac{Q_3}{V}\\ &=C_I+C_{II}+C_{III}\\ &=2+4+6\\ &=12 \end{split} \end{equation}

이고 답은 4번 이다.

4번

주어진 조건에서 전기장은

E⃗=−∇V=−∇(x2y−5z2+y2zx3)=−((2xy−3y2zx4)x⃗+(x2+2yzx3)y⃗+(−10z+y2x3)z⃗)\begin{equation} \begin{split} \vec{E}&=-\nabla V\\ &=-\nabla \left(x^2y-5z^2+\frac{y^2 z}{x^3}\right)\\ &=-\left(\left(2xy-\frac{3y^2 z}{x^4}\right)\vec{x}+\left(x^2+\frac{2yz}{x^3}\right)\vec{y}+\left(-10z+\frac{y^2}{x^3}\right)\vec{z} \right) \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 주어진 점에서의 전기장의 크기는

∣E⃗(1,−1,−1)∣=∣−(x⃗+3y⃗+11z⃗)∣=131\begin{equation} \begin{split} \left|\vec{E}(1,-1,-1)\right|&=|-(\vec{x}+3\vec{y}+11\vec{z})|\\ &=\sqrt{131} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 4번 이다.

5번

연속방정식

∇⋅J⃗=0\nabla \cdot \vec{J}=0

이 성립해야 한다. 주어진 전류밀도와 점을 대입하면

∇⋅J⃗∣(−2,5,1)=(yz+2ayz−2yxz3+10)∣(−2,5,1)=5+10a+5+10=10a+20=0\begin{equation} \begin{split} \left.\nabla \cdot \vec{J}\right|_{(-2,5,1)}&=\left.\left(yz+2ayz-\frac{2y}{xz^3}+10\right)\right|_{(-2,5,1)}\\ &=5+10a+5+10\\ &=10a+20=0 \end{split} \end{equation}

이므로 a=−2a=-2이고 답은 1번 이다.

6번

영상전하를 이용하기 좋게 생겼다. −2-2 C 전하의 반대편 같은 거리 위치에 +2+2인 전하가 있는 것과 마찬가지이다. 따라서 점 P까지의 전위차는

VΔP=−24πϵ0⋅1+24πϵ0⋅5=−12πϵ0+110πϵ0=−25πϵ0\begin{equation} \begin{split} V_{\Delta P}&=\frac{-2}{4\pi\epsilon_0\cdot 1}+\frac{2}{4\pi\epsilon_0\cdot5}\\ &=-\frac{1}{2\pi\epsilon_0}+\frac{1}{10\pi\epsilon_0}\\ &=-\frac{2}{5\pi\epsilon_0} \end{split} \end{equation}

따라서 답은 1번 이다.

7번

이종전하 간에는 인력이 작용하므로 답은 4번 이다.

8번

보존장은 회전 성분을 갖지 않는다.

  1. ∣x⃗y⃗z⃗∂∂x∂∂y∂∂zyx+z2y−2z∣=(1−2z)x⃗\begin{equation} \begin{split} \begin{vmatrix} \vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ y & x+z^2 & y-2z \end{vmatrix}=(1-2z)\vec{x} \end{split} \end{equation}
  2. ∣x⃗y⃗z⃗∂∂x∂∂y∂∂zz2−y23xz∣=−zy⃗\begin{equation} \begin{split} \begin{vmatrix} \vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ z^2 & -y^2 & 3xz \end{vmatrix}=-z\vec{y} \end{split} \end{equation}
  3. ∣x⃗y⃗z⃗∂∂x∂∂y∂∂z4xy−yz2x2−zx−3z2−xy∣=0⃗\begin{equation} \begin{split} \begin{vmatrix} \vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 4xy-yz & 2x^2-zx & -3z^2-xy \end{vmatrix}=\vec{0} \end{split} \end{equation}
  4. ∣x⃗y⃗z⃗∂∂x∂∂y∂∂z−3x22zy∣=−x⃗\begin{equation} \begin{split} \begin{vmatrix} \vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ -3x^2 & 2z & y \end{vmatrix}=-\vec{x} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 3번 이다.

9번

자속은

Φ=∬B⃗⋅dS⃗\Phi=\iint \vec{B}\cdot d\vec{S}

이고 기전력은

emf=−dΦdtemf=-\frac{d\Phi}{dt}

이다. 따라서

emf(t=0.3)=−∬dB⃗dt⋅dS⃗∣t=0.3−∫01.5B⃗⋅v⃗dl∣t=0.3=−(−375)e−1.5⋅1.5⋅1.5−75e−1.5⋅1.5⋅5=375⋅0.22⋅2.25−75⋅0.22⋅7.5≈62\begin{equation} \begin{split} emf(t=0.3)&=-\left.\iint \frac{d\vec{B}}{dt}\cdot d\vec{S}\right|_{t=0.3} - \left.\int_0^{1.5} \vec{B}\cdot \vec{v} dl\right|_{t=0.3}\\ &=- (-375)e^{-1.5}\cdot 1.5 \cdot 1.5 -75e^{-1.5}\cdot 1.5\cdot 5\\ &=375\cdot 0.22 \cdot 2.25 - 75 \cdot 0.22 \cdot 7.5\\ &\approx 62 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 4번 이다.

10번

  1. 전압이 증가하면 전압 증가의 효과와 Q=CVQ=CV에 따른 전하 증가의 효과가 겹쳐서 나타난다. 그래서 W=12CV2W=\frac{1}{2}CV^2이다.
  2. 위 설명에 의해 옳다.
  3. 정전용량은 전압과 전하의 비율이므로 전압이 변하여도 일정하다.(버랙터와 같이 아닌 경우도 있지만, 이 경우에는 그렇다.)
  4. 위 설명에 의해 마찬가지로 틀렸다.

따라서 답은 2번 이다.

11번

먼저 회전을 계산하자.

∇×A⃗=∣x⃗y⃗z⃗∂∂x∂∂y∂∂z2x2+y2xy−y20∣=−yz⃗\begin{equation} \begin{split} \nabla \times \vec{A}&= \begin{vmatrix} \vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2x^2+y^2 & xy-y^2 & 0 \end{vmatrix}\\ &=-y\vec{z} \end{split} \end{equation}

이를 주어진 영역에 대해 적분해야 한다. xx가 0→20\rightarrow 2로 움직일 때 yy는 각 xx에 대해 0→−x+20\rightarrow -x+2로 움직이면서 적분해야한다. 따라서

∮A⃗⋅dl⃗=∫02∫_0−x+2−ydydx=∫02[−12y2]_0−x+2dx=−12[13x3−2x2+4x]_02=−43\begin{equation} \begin{split} \oint\vec{A}\cdot d\vec{l}&=\int _0 ^2 \int \_0 ^{-x+2} -ydydx\\ &=\int _0 ^2 \left[-\frac{1}{2}y^2\right]\_0 ^{-x+2}dx\\ &=-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x\right]\_0^2\\ &=-\frac{4}{3} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번 이다.

12번

평균전력밀도는 포인팅 벡터의 크기를 2로 나눈 것이다. 그래서 입사되는 전력을 구할 때 이를 수직 단면적에 대해 적분한다.

S⃗=E⃗×H⃗\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}

이고 자유공간에서

H=Eη0≈E377\begin{equation} \begin{split} H&=\frac{E}{\eta_0}\\ &\approx\frac{E}{377} \end{split} \end{equation}

이므로

12S=122500377≈3.32\begin{equation} \begin{split} \frac{1}{2}S&=\frac{1}{2}\frac{2500}{377}\\ &\approx 3.32 \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 답은 3번 이다. 계산기가 없는 이상 대충 2500≈2400,377≈4002500\approx 2400, 377\approx 400으로 풀 수밖에 없지 않을까 싶다.

13번

  1. 그렇다. 그래야 들어온 전속들이 변화 그대로 나가므로 D⃗\vec{D}의 발산이 0이고, 이는 자유 전하가 없으면 필연적이다.
  2. 그렇다. 그래야 전계가 회전하지 않는다.
  3. 전위는 전계를 적분하므로 연속적이어야 한다. 따라서 두 경계면에서 같아야 한다.
  4. 유전율이 크다면 D⃗\vec{D}가 같기 위해서 전계의 수직 성분 E⊥⃗\vec{E_\perp}이 작아져야 한다. 즉 전계가 더 경계면에 가깝게 기울어진다는 뜻이고, 이는 법선과 이루는 각도가 더 커짐을 의미한다.

따라서 답은 3번이다.

14번

주어진 공간에서 거리 dd가 변수라고 했을 때의 에너지는 다음과 같다.

W=12×1μ0×Φ2S×dW=\frac{1}{2}\times \frac{1}{\mu_0 }\times \frac{\Phi^2}{S}\times d

W=∫F⃗⋅dl⃗W=\int \vec{F}\cdot d\vec{l}임에 착안하고, 여기서 l=dl=d라고 하면 힘은 위 식을 dd로 미분함에 따라 얻어진다. 따라서

F=Φ22μ0S=4π2×10−82×4π×10−7×0.001=50π\begin{equation} \begin{split} F&=\frac{\Phi^2}{2\mu_0 S}\\ &=\frac{4\pi^2\times 10^{-8}}{2\times4\pi\times 10^{-7}\times 0.001}\\ &=50\pi \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

15번

먼저 단위길이당 커패시턴스를 구해보자. 케이블에 전하량이 Q만큼 충전되어 있다고 하자. 이 때 전계는 중심에서 바깥쪽으로 뻗어나간다. 길이 방향으로 충분히 케이블이 길기 때문에 길이 방향 위치에 상관없이 똑같다. 그러므로 안쪽과 바깥쪽의 전위차는

V=∫15Q2πϵrdr=Q2πϵln(5)\begin{equation} \begin{split} V&=\int _1 ^5 \frac{Q}{2\pi \epsilon r} dr\\ &=\frac{Q}{2\pi \epsilon} ln (5) \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 단위길이당 커패시턴스는

C=QV=2πϵln(5)\begin{equation} \begin{split} C&=\frac{Q}{V}\\ &=\frac{2\pi\epsilon}{ln (5)} \end{split} \end{equation}

이다. 다음으로 단위길이당 인덕턴스를 구해보자. 그러기 위해서 먼저 H⃗\vec{H}를 생각해보자.

∮H⃗⋅dl⃗=i\oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=i

이고 대칭성에 의해

H=I2πrH=\frac{I}{2\pi r}

이다. 그리고 단위길이당 단면적을 통과하는 자속은 중심에서 뻗어나가는 선을 통과하는 자기력선의 개수와 같으므로

Φ=∫15μI2πrdr=μI2πln(5)\begin{equation} \begin{split} \Phi&=\int _1 ^5 \frac{\mu I}{2\pi r} dr\\ &=\frac{\mu I}{2\pi } ln (5) \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 단위길이당 인덕턴스는

L=μ2πln(5)L=\frac{\mu }{2\pi }ln (5)

이다. 따라서 특성 임피던스는

μ=LC=μ2πln(5)2πϵln(5)=12πln(5)μϵ=32πln(5)\begin{equation} \begin{split} \mu&=\sqrt{\frac{L}{C}}\\ &=\sqrt{\frac{\frac{\mu }{2\pi }ln (5)}{\frac{2\pi\epsilon}{ln (5)}}}\\ &=\frac{1}{2\pi}ln(5)\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2\pi}ln(5) \end{split} \end{equation}

이므로 답은 4번 이다.

16번

D⃗=ϵE⃗=ϵ0E⃗−P⃗⇒P⃗=(ϵ0−ϵ)E⃗\begin{equation} \begin{split} \vec{D}&=\epsilon\vec{E}\\ &=\epsilon_0\vec{E}-\vec{P}\\ \Rightarrow \vec{P}&=(\epsilon_0-\epsilon)\vec{E}\\ \end{split} \end{equation}

인데, 비유전율이 3이므로 ϵ=ϵ0ϵr=3ϵ0\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r=3\epsilon_0이다. 따라서

∣E⃗∣=∣−12P⃗∣=12ϵ0×4.0×103 C/m2\begin{equation} \begin{split} \left|\vec{E}\right|&=\left|-\frac{1}{2}\vec{P}\right|\\ &=\frac{1}{2\epsilon_0}\times4.0\times10^3 \text{ C/m}^2 \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 유전체에 저장된 정전에너지는

E=12∫ϵ0ϵrE2dv=12×ϵ0×3×(12ϵ0×4.0)2=6ϵ0\begin{equation} \begin{split} E&=\frac{1}{2}\int \epsilon_0\epsilon_rE^2 dv\\ &=\frac{1}{2}\times \epsilon_0\times 3 \times \left(\frac{1}{2\epsilon_0}\times4.0\right)^2\\ &=\frac{6}{\epsilon_0} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 3번 이다.

17번

  1. 정의에 따라 그렇다.
  2. 그렇다.
  3. 전기력선의 수는 전하에 비례한다.
  4. 그렇다.

따라서 답은 3번이다.

18번

β⃗=3x⃗+4y⃗\vec{\beta}=3\vec{x}+4\vec{y} 이므로 그 크기는 5이다. 한편

β=2πλ\beta=\frac{2\pi}{\lambda}

이므로

λ=0.4π\lambda=0.4 \pi

이다. 따라서 답은 2번 이다.

19번

  1. 도체 사이에서 자속 방향이 서로 반대이므로 상쇄되어 감소한다.
  2. 사이에는 자속이 증가하고 바깥쪽에서는 자속이 적어지므로 이러한 밀도차를 해소하기 위해서 서로 멀어지려 한다고 생각할 수 있다.
  3. 그렇다.
  4. 그렇다.

따라서 답은 1번 이다.

20번

컷오프 주파수는 다음과 같이 구해진다. (참고: https://resources.system-analysis.cadence.com/blog/msa2021-propagation-in-the-parallel-plate-waveguide-tem-mode)

fc=12dϵμf_c=\frac{1}{2d\sqrt{\epsilon\mu}}

따라서 판 간격의 값 dd는

d=12fcϵμ=12×15×109×3×1082=5 mm\begin{equation} \begin{split} d&=\frac{1}{2f_c\sqrt{\epsilon\mu}}\\ &=\frac{1}{2\times15\times 10^9}\times\frac{3\times 10^8}{2}\\ &=5 \text{ mm} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번 이다.

이것까지 알아야 하나 싶다…