2021 7급 국가직 전기자기학 1번 − Q -Q − Q 2 Q 2Q 2 Q 2 Q 2Q 2 Q 2 \sqrt{2} 2
Q 2 : 2 Q 2 = 2 : 1 \frac{Q}{\sqrt{2}}:\frac{2Q}{2}=\sqrt{2}:1 2 Q : 2 2 Q = 2 : 1 이다.
따라서 답은 1번 이다.
2번 E ⃗ = − ∇ V = − a z ⃗ ( − 5 − 5 ) / ( 4 ⋅ 1 0 − 2 ) = 250 a z ⃗ \begin{equation} \begin{split} \vec{E} &=-\nabla V \\ &= -\vec{a_z} (-5-5)/(4\cdot 10^{-2})\\ &=250\vec{a_z} \end{split} \end{equation} E = − ∇ V = − a z ( − 5 − 5 ) / ( 4 ⋅ 1 0 − 2 ) = 250 a z 이므로 답은 3번 이다.
3번 정전계에서∮ E ⃗ ⋅ d l ⃗ = 0 \oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0 ∮ E ⋅ d l = 0 그렇다. 도체의 표면전하가 전계를 법선 방향으로 만들기 때문이다. 따라서 답은 2번 이다.
4번 자기에너지는
W = ∭ 1 2 B ⃗ ⋅ H ⃗ d v W=\iiint \frac{1}{2}\vec{B}\cdot \vec{H} dv W = ∭ 2 1 B ⋅ H d v 이고 등방, 선형인 자성체이므로 자기에너지밀도는
이다. 따라서 답은 1번 이다.
5번 강자성체에 대한 설명이므로 3번 이 답이다.
6번 점전하가 만드는 전속밀도벡터는
D ⃗ = Q 4 π r 2 a r ⃗ \vec{D}=\frac{Q}{4\pi r^2}\vec{a_r} D = 4 π r 2 Q a r 이다. 주어진 영역에 대해서 전속을 구하면
∫ π 3 π 2 ∫ 0 2 π 2 4 π r 2 r 2 s i n θ d ϕ d θ = ∫ π 3 π 2 1 2 π ⋅ 2 π s i n θ d θ = ∫ π 3 π 2 s i n θ d θ = [ − c o s θ ] π 3 π 2 = c o s π 3 = 1 2 \begin{equation} \begin{split} \int _{\frac{\pi}{3}} ^{\frac{\pi}{2}} \int _{0} ^{2\pi} \frac{2}{4\pi r^2} r^2 sin\theta d\phi d\theta&=\int _{\frac{\pi}{3}} ^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi sin\theta d\theta\\ &=\int _{\frac{\pi}{3}} ^{\frac{\pi}{2}}sin\theta d\theta\\ &=\left[-cos\theta\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\\ &=cos\frac{\pi}{3}\\ &=\frac{1}{2} \end{split} \end{equation} ∫ 3 π 2 π ∫ 0 2 π 4 π r 2 2 r 2 s in θ d ϕ d θ = ∫ 3 π 2 π 2 π 1 ⋅ 2 π s in θ d θ = ∫ 3 π 2 π s in θ d θ = [ − cos θ ] 3 π 2 π = cos 3 π = 2 1 이므로 답은 2번 이다.
7번 전속밀도벡터와 전계와 분극벡터의 관계는
D ⃗ = ϵ E ⃗ = ϵ 0 E ⃗ + P ⃗ \vec{D}=\epsilon \vec{E}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P} D = ϵ E = ϵ 0 E + P 이다.
이 식의 의미는 분극이 없다고 가정할 수 있는 자유공간에서의 전속밀도는 분극이 있는 유전체 내에서는 반대 방향의 전기장을 만드는 분극에 의해서 줄어들어 버리기 때문에 이를 보충해서 순수 전하에 의한 전속밀도를 구한다는 뜻이다.
전하에 의한 전속밀도는 분극과 상관없어야 하니까.
이제 분극벡터를 구해보면
P ⃗ = D ⃗ − ϵ 0 E ⃗ \vec{P}=\vec{D}-\epsilon_0\vec{E} P = D − ϵ 0 E 이고, 대칭성에 의해
D ⃗ = ρ l 2 π ρ a ρ ⃗ , E ⃗ = ρ l 2 π ϵ ρ a ρ ⃗ \vec{D}=\frac{\rho_l}{2\pi \rho}\vec{a_\rho}, \vec{E}=\frac{\rho_l}{2\pi \epsilon \rho}\vec{a_\rho} D = 2 π ρ ρ l a ρ , E = 2 π ϵ ρ ρ l a ρ 이므로
P ⃗ = ρ l 2 π ρ ( 1 − ϵ 0 ϵ ) a ρ ⃗ \vec{P}=\frac{\rho_l}{2\pi\rho}\left(1-\frac{\epsilon_0}{\epsilon}\right)\vec{a_\rho} P = 2 π ρ ρ l ( 1 − ϵ ϵ 0 ) a ρ 가 된다. 따라서 답은 4번 이다.
8번 커패시터 4개가 병렬 연결되어 있는 것과 같다. 처음에 모두 같은 유전체라 가정하고, ρ l \rho_l ρ l
V = ∫ E ⃗ ⋅ d l ⃗ V=\int \vec{E}\cdot d\vec{l} V = ∫ E ⋅ d l 인데, 전기장은 앞 문제에 나와있다. 대입하여서 구하면
V = ρ l 2 π ϵ l n b a V=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}ln\frac{b}{a} V = 2 π ϵ ρ l l n a b 이다. 그리고
이므로
C = Q V = ρ l ⋅ L × 1 ( ρ l 2 π ϵ l n b a ) = 2 π ϵ ⋅ L × 1 l n b a = 12 π ϵ l n 2 \begin{equation} \begin{split} C&=\frac{Q}{V}=\rho_l \cdot L \times\frac{1}{ \left(\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon}ln\frac{b}{a}\right)}\\ &=2\pi\epsilon\cdot L \times\frac{1}{ln\frac{b}{a}}\\ &=\frac{ 12\pi\epsilon }{ln2} \end{split} \end{equation} C = V Q = ρ l ⋅ L × ( 2 π ϵ ρ l l n a b ) 1 = 2 π ϵ ⋅ L × l n a b 1 = l n 2 12 π ϵ 이다.
이 값은 앞서 말했듯이 균일한 유전체로 꽉 채워져 있을 경우이므로, 4로 나누고 유전율을 각각 바꿔서 계산한 다음에 다 더해주면 될 것이다.
계산하면
3 π ϵ 0 l n 2 ( 2 + 4 + 8 + 16 ) = 3 π ϵ 0 l n 2 ⋅ 30 = 90 π ϵ 0 l n 2 \begin{equation} \begin{split} \frac{3\pi\epsilon_0}{ln2}(2+4+8+16)&=\frac{3\pi\epsilon_0}{ln2}\cdot 30\\ &=\frac{90\pi\epsilon_0}{ln2} \end{split} \end{equation} l n 2 3 π ϵ 0 ( 2 + 4 + 8 + 16 ) = l n 2 3 π ϵ 0 ⋅ 30 = l n 2 90 π ϵ 0 이고 답은 3번 이다.
9번 전기에너지는
W = 1 2 ∭ E ⃗ ⋅ D ⃗ d v W=\frac{1}{2}\iiint \vec{E}\cdot \vec{D} dv W = 2 1 ∭ E ⋅ D d v 이다. 주어진 조건을 이용하여 계산하고
E ⃗ = − ∇ V ⇒ E = V d \begin{gather} \vec{E}=-\nabla V \\ \Rightarrow E=\frac{V}{d} \end{gather} E = − ∇ V ⇒ E = d V 임을 이용하면
W = 1 2 ∫ 0 d ϵ S ( V / h ) 2 d h W=\frac{1}{2}\int_0^d \epsilon S (V/h)^2 dh W = 2 1 ∫ 0 d ϵ S ( V / h ) 2 d h 이다. 한편
W = ∫ F ⃗ ⋅ d l ⃗ W=\int \vec{F}\cdot d\vec{l} W = ∫ F ⋅ d l 이고 주어진 상황에서 d l ⃗ = d h ⃗ d\vec{l}=d\vec{h} d l = d h W W W d d d d d d h h h d d d
W = 1 2 ϵ S ( V d ) 2 W=\frac{1}{2}\epsilon S\left(\frac{V}{d}\right)^2 W = 2 1 ϵ S ( d V ) 2 이므로 답은 2번 이다.
10번 유한 도선에 의한 자계의 세기를 구해 보자.
z z z x y xy x y ρ \rho ρ α \alpha α β \beta β
d H ⃗ = I 4 π d l ⃗ × a ℜ ⃗ ℜ 2 \vec{dH}=\frac{I}{4\pi}\frac{d\vec{l}\times \vec{a_\Re}}{\Re^2} d H = 4 π I ℜ 2 d l × a ℜ 이고 d l ⃗ = d z a z ⃗ \vec{dl}=dz\vec{a_z} d l = d z a z ℜ = z 2 + ρ 2 \Re=\sqrt{z^2+\rho^2} ℜ = z 2 + ρ 2
a ℜ ⃗ = 1 z 2 + ρ 2 ( ρ a ρ ⃗ + z a z ⃗ ) \vec{a_\Re}=\frac{1}{\sqrt{z^2+\rho^2}}(\rho\vec{a_\rho}+z\vec{a_z}) a ℜ = z 2 + ρ 2 1 ( ρ a ρ + z a z ) 이다.
따라서
d H ⃗ = I 4 π 1 ℜ 2 d z a z ⃗ × 1 z 2 + ρ 2 ( ρ a ρ ⃗ + z a z ⃗ ) = I 4 π ρ ( z 2 + ρ 2 ) 3 2 d z a ϕ ⃗ = I 4 π c o s ( γ ) 1 z 2 + ρ 2 d z \begin{equation} \begin{split} \vec{dH}&=\frac{I}{4\pi}\frac{1}{\Re^2}dz\vec{a_z} \times \frac{1}{\sqrt{z^2+\rho^2}}(\rho\vec{a_\rho}+z\vec{a_z})\\ &=\frac{I}{4\pi}\frac{\rho}{(z^2+\rho^2)^{\frac{3}{2}}}dz\vec{a_\phi}\\ &=\frac{I}{4\pi} cos(\gamma)\frac{1}{z^2+\rho^2}dz \end{split} \end{equation} d H = 4 π I ℜ 2 1 d z a z × z 2 + ρ 2 1 ( ρ a ρ + z a z ) = 4 π I ( z 2 + ρ 2 ) 2 3 ρ d z a ϕ = 4 π I cos ( γ ) z 2 + ρ 2 1 d z 이다. 또한
z = ρ t a n ( γ ) ⇒ d z = ρ s e c 2 ( γ ) d γ z=\rho tan(\gamma) \Rightarrow dz=\rho sec^2(\gamma)d\gamma z = ρt an ( γ ) ⇒ d z = ρ se c 2 ( γ ) d γ 이므로
d H ⃗ = I 4 π c o s ( γ ) 1 ρ 2 ( 1 + t a n 2 ( γ ) ) ρ s e c 2 ( γ ) d γ a ϕ ⃗ = I 4 π c o s ( γ ) 1 ρ 2 s e c 2 ( θ ) ρ s e c 2 ( γ ) d γ a ϕ ⃗ = I 4 π c o s ( γ ) 1 ρ d γ a ϕ ⃗ \begin{equation} \begin{split} \vec{dH}&=\frac{I}{4\pi} cos(\gamma)\frac{1}{\rho^2(1+tan^2(\gamma))}\rho sec^2(\gamma)d\gamma\vec{a_\phi}\\ &=\frac{I}{4\pi} cos(\gamma)\frac{1}{\rho^2sec^2(\theta)}\rho sec^2(\gamma)d\gamma\vec{a_\phi}\\ &=\frac{I}{4\pi} cos(\gamma)\frac{1}{\rho}d\gamma\vec{a_\phi} \end{split} \end{equation} d H = 4 π I cos ( γ ) ρ 2 ( 1 + t a n 2 ( γ )) 1 ρ se c 2 ( γ ) d γ a ϕ = 4 π I cos ( γ ) ρ 2 se c 2 ( θ ) 1 ρ se c 2 ( γ ) d γ a ϕ = 4 π I cos ( γ ) ρ 1 d γ a ϕ 이다.
따라서
H ⃗ = I 4 π ρ ∫ c o s ( γ ) d γ a ϕ ⃗ = I 4 π ρ s i n ( γ ) a ϕ ⃗ \vec{H}=\frac{I}{4\pi\rho}\int cos(\gamma)d\gamma\vec{a_\phi}=\frac{I}{4\pi\rho}sin(\gamma)\vec{a_\phi} H = 4 π ρ I ∫ cos ( γ ) d γ a ϕ = 4 π ρ I s in ( γ ) a ϕ 이다.(사실은 정적분해야한다.)
s i n ( γ ) sin(\gamma) s in ( γ ) c o s ( α ) cos(\alpha) cos ( α ) − c o s ( β ) -cos(\beta) − cos ( β )
H ⃗ = I 4 π ρ ( c o s ( α ) + c o s ( β ) ) a ϕ ⃗ \vec{H}=\frac{I}{4\pi\rho}(cos(\alpha)+cos(\beta))\vec{a_\phi} H = 4 π ρ I ( cos ( α ) + cos ( β )) a ϕ 이다.
구한 공식을 이 문제 상황에 적용하면, 변의 길이가 a a a 6 0 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ 3 2 a \frac{\sqrt{3}}{2}a 2 3 a
H a ⃗ = 2 ⋅ I 4 π 3 2 a ( 2 c o s ( 6 0 ∘ ) ) = I 3 π a \begin{equation} \begin{split} \vec{H_a}&=2\cdot \frac{I}{4\pi\frac{\sqrt{3}}{2}a}(2cos(60^\circ))\\ &=\frac{I}{\sqrt{3}\pi a} \end{split} \end{equation} H a = 2 ⋅ 4 π 2 3 a I ( 2 cos ( 6 0 ∘ )) = 3 πa I 이다.
그리고 변의 길이가 3 a \sqrt{3}a 3 a 3 0 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ a 2 \frac{a}{2} 2 a
H 3 a ⃗ = 2 ⋅ I 4 π a 2 ( 2 c o s ( 3 0 ∘ ) ) = 3 I π a \begin{equation} \begin{split} \vec{H_{\sqrt{3}a}}&=2\cdot \frac{I}{4\pi\frac{a}{2}}(2cos(30^\circ))\\ &=\sqrt{3}\frac{I}{\pi a} \end{split} \end{equation} H 3 a = 2 ⋅ 4 π 2 a I ( 2 cos ( 3 0 ∘ )) = 3 πa I 이다. 둘을 더해서 크기를 구하면
H = I π a ( 1 3 + 3 ) H=\frac{I}{\pi a}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\right) H = πa I ( 3 1 + 3 ) 이므로 답은 4번 이다.
그리고
H ⃗ = I 4 π ρ ( c o s ( α ) + c o s ( β ) ) a ϕ ⃗ \vec{H}=\frac{I}{4\pi\rho}(cos(\alpha)+cos(\beta))\vec{a_\phi} H = 4 π ρ I ( cos ( α ) + cos ( β )) a ϕ 이 식은 유용하므로 외워두는 것을 추천한다.
11번 인덕턴스는 흐르는 전류 대비 쇄교하는 자기력선 수의 비율이다. 따라서 전류를 증가시키는 것은 의미가 없으므로 답은 4번 이다.
코일 감은 수를 늘리면 그만큼 더 많은 자속이 생길 것이고, 반지름을 늘리면 면적이 늘어나니 자기력선 수도 늘어난다. 자성체의 비투자율을 늘려도 전류에 반응해서 생기는 자기장이 강해질 것이다.
12번 Z i n = Z 0 Z L + j Z 0 t a n ( k l ) Z 0 + j Z L t a n ( k l ) Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0tan(kl)}{Z_0+jZ_Ltan(kl)} Z in = Z 0 Z 0 + j Z L t an ( k l ) Z L + j Z 0 t an ( k l ) 이고 Z L = 0 Z_L=0 Z L = 0
Z i n = Z 0 j Z 0 t a n ( k l ) Z 0 = j Z 0 t a n ( k l ) \begin{equation} \begin{split} Z_{in}&=Z_0\frac{jZ_0tan(kl)}{Z_0}\\ &=jZ_0tan(kl) \end{split} \end{equation} Z in = Z 0 Z 0 j Z 0 t an ( k l ) = j Z 0 t an ( k l ) 이므로 답은 3번 이다.
이 식을 비교적 쉽게 외우는 방법을 소개하겠다. 일단 기본적인 몇 가지는 외워야 한다. 분자와 분모의 형태가 a + j b t a n ( β l ) a+jbtan(\beta l) a + jb t an ( βl ) c c c Z 0 Z_0 Z 0 Z L Z_L Z L l = 0 l=0 l = 0 Z i n = Z L Z_{in}=Z_L Z in = Z L j t a n ( β l ) = j t a n 0 = 0 jtan(\beta l)=jtan 0=0 j t an ( βl ) = j t an 0 = 0 c ⋅ (분자 실수항) (분모 실수항) = Z L c\cdot \frac{\text{(분자 실수항)}}{\text{(분모 실수항)}}=Z_L c ⋅ ( 분모 실수항 ) ( 분자 실수항 ) = Z L c c c Z 0 Z_0 Z 0 Z L Z_L Z L Z 0 Z_0 Z 0 Z L Z_L Z L
13번 점 P P P d l dl d l O P ⃗ \vec{OP} OP 1번 이다.
14번 전류가 흐르는 면적을 통과하는 자속을 생각해보자. 전류 I I I
H = I 2 π ρ H=\frac{I}{2\pi \rho} H = 2 π ρ I 의 자계가 생기고, 높이 L L L a , b a,b a , b
Φ = ∬ μ 0 H ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∫ 0 L ∫ a b μ 0 I 2 π ρ d ρ d h = μ 0 L I 2 π l n ( b a ) \begin{equation} \begin{split} \Phi&=\iint \mu_0\vec{H}\cdot d\vec{S}\\ &=\int _0 ^L \int _a ^b \frac{\mu_0I}{2\pi \rho} d\rho dh\\ &=\frac{\mu_0LI}{2\pi}ln\left(\frac{b}{a}\right) \end{split} \end{equation} Φ = ∬ μ 0 H ⋅ d S = ∫ 0 L ∫ a b 2 π ρ μ 0 I d ρ d h = 2 π μ 0 L I l n ( a b ) 따라서 단위길이당 자기 인덕턴스는
Φ L I = μ 0 2 π l n ( b a ) \frac{\Phi}{LI}=\frac{\mu_0}{2\pi}ln\left(\frac{b}{a}\right) L I Φ = 2 π μ 0 l n ( a b ) 이므로 답은 3번 이다.
15번 초음파는 공기의 진동이지 전자기파가 아니다. 와이파이는 GHz 대의 전파를 쓰므로 계산해보면 수십 센티미터의 파장이다. 가시광선의 파장은 수백 나노미터 단위이므로 와이파이 전파의 파장이 훨씬 길다. 매질에 따라 전자기파의 속도는 달라진다. 위상이 다를 뿐 수직이긴 하다. 따라서 답은 2번 이다.
16번 직선은 x x x − 4 a y ⃗ -4\vec{a_y} − 4 a y a x ⃗ \vec{a_x} a x
4 = I 2 π ⋅ 2 ⇒ I = 16 π \begin{gather} 4=\frac{I}{2\pi \cdot 2}\\ \Rightarrow I=16 \pi \end{gather} 4 = 2 π ⋅ 2 I ⇒ I = 16 π 이다. 따라서 답은 4번 이다.
17번 로렌츠 힘은
F ⃗ = q ( v ⃗ × B ⃗ + E ⃗ ) \vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B}+\vec{E}) F = q ( v × B + E ) 이다. 단위전하당 자기장에 의한 힘을 계산하면
F B ⃗ / q = 1 0 5 − 3 ( − 100 a y ⃗ + 60 a z ⃗ − 120 a x ⃗ ) \vec{F_B}/q=10^{5-3}(-100\vec{a_y}+60\vec{a_z}-120\vec{a_x}) F B / q = 1 0 5 − 3 ( − 100 a y + 60 a z − 120 a x ) 이다. 따라서
E ⃗ = − F B ⃗ / q = 12 a x ⃗ + 10 a y ⃗ − 6 a z ⃗ \begin{equation} \begin{split} \vec{E}&=-\vec{F_B}/q\\ &=12\vec{a_x}+10\vec{a_y}-6\vec{a_z} \end{split} \end{equation} E = − F B / q = 12 a x + 10 a y − 6 a z 이므로 답은 2번 이다.
18번 서로 자기장을 더 많이 주고받으므로 상호 인덕턴스가 증가한다. 사각형 면적이 작아져서 자기력선 수도 적어지므로 상호 인덕턴스는 감소할 것이다. 위와 같다. 인덕턴스는 전류 대비 자기력선 수의 비이기 때문에 전류를 크게 하면 자기력선 수도 같이 커져서 그 비율은 변하지 않는다. 따라서 4번 이 옳지 않다.
19번 우선 a z ⃗ \vec{a_z} a z z z z
2 2 + 4 2 4 = 5 2 \frac{\sqrt{2^2+4^2}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2} 4 2 2 + 4 2 = 2 5 이다. 3번의 경우 z z z
2 2 + 5 2 7 = 29 7 \frac{\sqrt{2^2+5^2}}{7}=\frac{\sqrt{29}}{7} 7 2 2 + 5 2 = 7 29 이니 가망이 없다.
확실히 하기 위해 4번에 대해서도 계산해보면
( 7 2 ) 2 + 7 2 7 = 5 4 = 5 2 \frac{\sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2+7^2}}{7}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2} 7 ( 2 7 ) 2 + 7 2 = 4 5 = 2 5 이므로 확실히 4번 이 답이다.
20번 P = 1 2 V 2 R P=\frac{1}{2}\frac{V^2}{R} P = 2 1 R V 2 이므로 대입해서 구하면
P = 1 2 5 0 2 50 = 25 W \begin{equation} \begin{split} P&=\frac{1}{2}\frac{50^2}{50}\\ =25 \text{ W} \end{split} \end{equation} P = 25 W = 2 1 50 5 0 2 이다.
21번 전자기파는 + a z ⃗ +\vec{a_z} + a z
η = μ ϵ = η 0 ⋅ 2 18 = η 0 3 = 40 π \begin{equation} \begin{split} \eta&=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\\ &=\eta_0\cdot\sqrt{\frac{2}{18}}\\ &=\frac{\eta_0}{3}\\ &=40\pi \end{split} \end{equation} η = ϵ μ = η 0 ⋅ 18 2 = 3 η 0 = 40 π 이다. 따라서
H ⃗ = E η a y ⃗ = c o s ( 2 × 1 0 7 t − k z ) a y ⃗ \begin{equation} \begin{split} \vec{H}&=\frac{E}{\eta}\vec{a_y}\\ &=cos(2\times 10^7t-kz)\vec{a_y} \end{split} \end{equation} H = η E a y = cos ( 2 × 1 0 7 t − k z ) a y 이다.
한편 k = ω v k=\frac{\omega}{v} k = v ω ω = 2 × 1 0 7 \omega=2\times 10^7 ω = 2 × 1 0 7
k = 2 × 1 0 7 × 18 × 2 3 × 1 0 8 = 0.4 \begin{equation} \begin{split} k&=\frac{2\times 10^7\times \sqrt{18\times 2}}{3\times 10^8}\\ &=0.4 \end{split} \end{equation} k = 3 × 1 0 8 2 × 1 0 7 × 18 × 2 = 0.4 이므로 답은 1번 이다.
22번 비유전율이 100 100 100
v p = c 100 = 3 × 1 0 8 / 10 = 3 × 1 0 7 m/s \begin{equation} \begin{split} v_p&=\frac{c}{\sqrt{100}}\\ &=3\times 10^8/10\\ &=3\times 10^7 \text{ m/s} \end{split} \end{equation} v p = 100 c = 3 × 1 0 8 /10 = 3 × 1 0 7 m/s 이다.
다음으로 파장은
λ = v p f = 3 × 1 0 7 10 × 1 0 6 = 3 \begin{equation} \begin{split} \lambda&=\frac{v_p}{f}\\ =&\frac{3\times 10^7}{10\times 10^6}\\ &=3 \end{split} \end{equation} λ = = f v p 10 × 1 0 6 3 × 1 0 7 = 3 이므로 답은 3번 이다.
k k k
k = ω μ ϵ = 2 π f v p = 2 π × 1 0 7 3 × 1 0 7 = 2 π 3 \begin{equation} \begin{split} k&=\omega \sqrt{\mu\epsilon}\\ &=\frac{2\pi f}{v_p}\\ &=2\pi \times \frac{10^7}{3\times 10^7}\\ &=\frac{2\pi}{3} \end{split} \end{equation} k = ω μ ϵ = v p 2 π f = 2 π × 3 × 1 0 7 1 0 7 = 3 2 π 이므로 역시 3번이 맞다.
23번 η = L C = 50 Ω \begin{equation} \begin{split} \eta&=\sqrt{\frac{L}{C}}\\ &=50\text{ }\Omega \end{split} \end{equation} η = C L = 50 Ω 이다. 다음으로 위상 상수에 대해 알아보면
β = ω L C = 2 π ⋅ 1 ⋅ 1 0 9 ⋅ L C = 10 \begin{equation} \begin{split} \beta&=\omega \sqrt{LC}\\ &=2\pi \cdot 1\cdot 10^9 \cdot \sqrt{LC}\\ &=10 \end{split} \end{equation} β = ω L C = 2 π ⋅ 1 ⋅ 1 0 9 ⋅ L C = 10 이다. 따라서
β η = 2 π ⋅ 1 0 9 ⋅ C = 10 50 \begin{equation} \begin{split} \frac{\beta}{\eta}&=2\pi\cdot 10^9 \cdot C\\ &=\frac{10}{50} \end{split} \end{equation} η β = 2 π ⋅ 1 0 9 ⋅ C = 50 10 이므로
C = 1 10 π C=\frac{1}{10\pi} C = 10 π 1 이다. 따라서 답은 1번 이다.
24번 비자성 물질이므로 μ = μ 0 \mu=\mu_0 μ = μ 0
k = ω μ 0 ϵ = 2 π × 1 0 8 μ 0 ϵ = 4 \begin{equation} \begin{split} k&=\omega \sqrt{\mu_0\epsilon}\\ &=2\pi\times 10^8 \sqrt{\mu_0\epsilon}\\ &=4 \end{split} \end{equation} k = ω μ 0 ϵ = 2 π × 1 0 8 μ 0 ϵ = 4 에서
μ 0 ϵ = 4 2 π × 1 0 8 ⇒ ϵ = 16 4 π 2 × 1 0 16 1 4 π ⋅ 1 0 − 7 = 1 π 3 ⋅ 1 0 9 \begin{gather} \sqrt{\mu_0\epsilon}=\frac{4}{2\pi\times 10^8}\\ \Rightarrow \epsilon=\frac{16}{4\pi^2\times 10^{16}}\frac{1}{4\pi\cdot 10^{-7}}=\frac{1}{\pi^3 \cdot 10^9} \end{gather} μ 0 ϵ = 2 π × 1 0 8 4 ⇒ ϵ = 4 π 2 × 1 0 16 16 4 π ⋅ 1 0 − 7 1 = π 3 ⋅ 1 0 9 1 이다. 이로부터
η = μ 0 ϵ = 4 π ⋅ 1 0 − 7 1 π 3 ⋅ 1 0 9 = 4 π 4 ⋅ 1 0 2 = 2 π 2 ⋅ 10 \begin{equation} \begin{split} \eta&=\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon}}\\ &=\sqrt{\frac{4\pi\cdot 10^{-7}}{\frac{1}{\pi^3 \cdot 10^9}}}\\ &=\sqrt{4\pi^4\cdot 10^2}\\ &=2\pi^2\cdot 10 \end{split} \end{equation} η = ϵ μ 0 = π 3 ⋅ 1 0 9 1 4 π ⋅ 1 0 − 7 = 4 π 4 ⋅ 1 0 2 = 2 π 2 ⋅ 10 이다. 따라서
H = E η = 20 2 π 2 ⋅ 10 = 1 π 2 \begin{equation} \begin{split} H&=\frac{E}{\eta}\\ &=\frac{20}{2\pi^2\cdot 10}\\ &=\frac{1}{\pi^2} \end{split} \end{equation} H = η E = 2 π 2 ⋅ 10 20 = π 2 1 가 된다.
이로부터 시평균 전력밀도를 구하면
S ′ = 1 2 E H = 1 2 ⋅ 20 1 π 2 = 10 π 2 \begin{equation} \begin{split} S'&=\frac{1}{2}EH\\ &=\frac{1}{2}\cdot 20 \frac {1}{\pi^2}\\ &=\frac{10}{\pi^2} \end{split} \end{equation} S ′ = 2 1 E H = 2 1 ⋅ 20 π 2 1 = π 2 10 이다.
헌데, 이 파는 주어진 평면에 π / 4 \pi/4 π /4 1 2 \frac{1}{\sqrt{2}} 2 1
S = 5 2 π 2 S=\frac{5{\sqrt{2}}}{\pi^2} S = π 2 5 2 이므로 답은 3번 이다.
25번 가장 큰 원은 ( 1 1 + r ) 2 \left(\frac{1}{1+r}\right)^2 ( 1 + r 1 ) 2 r = 0 r=0 r = 0 x x x x = 0 x=0 x = 0 r = ∞ r=\infty r = ∞ 따라서 1번 이 옳지 않다.
도선이 축 위에 있고, 평면 위에 측정 지점이 있다고 하자. 그리고 측정 지점까지의 거리를 라 하자.
그리고 한쪽 끝에서 측정 지점까지의 각도가 , 다른 끝에서 측정 지점까지의 각도가 로 주어졌다고 하자.
그러면