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2020 7급 서울시 전기자기학

1번

일은

W=∫F⃗⋅dl⃗=q∫02E⃗⋅dax⃗=−20∫022xdx=−20⋅x2∣02=−80\begin{equation} \begin{split} W&=\int \vec{F}\cdot d\vec{l}\\ &=q\int_0^2\vec{E}\cdot d\vec{a_x}\\ &=-20\int_0^2 2xdx\\ &=-20\cdot\left.x^2\right|_0^2\\ &=-80 \end{split} \end{equation}

이므로 80μ80 \muJ의 일이 필요하다. 부호가 −-인 것은 전기장이 전달해주는 에너지가 8080이란 것이고, 이를 등속운동시키기 위해서는 외부에서 반대 방향의 일을 해주어야 하므로 ++부호가 된다. 따라서 답은 4번이다.

2번

표피깊이는

δ=1πfμσ\delta=\frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}

이다. 변화한 후의 표피깊이는

δ2=1π⋅12f⋅2μ⋅2σ=12πfμσ=δ2\begin{equation} \begin{split} \delta_2&=\frac{1}{\sqrt{\pi \cdot\frac{1}{2}f \cdot 2\mu \cdot 2\sigma}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi f \mu \sigma}}\\ &=\frac{\delta}{\sqrt{2}} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 4번이다.

3번

∇⋅E⃗=4x+x+4=5x+4\begin{equation} \begin{split} \nabla \cdot \vec{E}&=4x+x+4\\ &=5x+4 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

4번

직선 도선에 흐르는 전류에 의한 자기장은

B⃗=μI2πρaϕ⃗\vec{B}=\frac{\mu I}{2\pi \rho }\vec{a_\phi}

이다. L1L_1에 의한 자기장은

B1⃗=μ⋅12π⋅2aϕ⃗\vec{B_1}=\frac{\mu \cdot 1}{2\pi \cdot 2}\vec{a_\phi}

이고 L2L_2에 의한 자기장은

B2⃗=μI22π⋅1aϕ⃗\vec{B_2}=\frac{\mu I_2}{2\pi \cdot 1}\vec{a_\phi}

이다. 이 두 자기장 합이 00이어야 하므로 I2I_2의 방향은 −x-x 방향이고, 크기는 0.50.5여야 한다. 따라서 답은 2번이다.

5번

영상법을 활용하자. 전하량 −2-2 C인 점전하가 P′(x,y,z)=(1,1,−2)P'(x,y,z)=(1,1,-2)에 놓여 있는 것과 마찬가지 상황이다. 이 두 점전하 사이에 작용하는 힘의 크기는

∣F∣=∣Q1Q24πϵ0r2∣=44πϵ0⋅42=116πϵ0\begin{equation} \begin{split} |F|&=\left|\frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0r^2}\right|\\ &=\frac{4}{4\pi\epsilon_0\cdot 4^2}\\ &=\frac{1}{16\pi\epsilon_0} \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 답은 2번이다.

6번

A⃗⋅B⃗=−2−6−2=−10\begin{equation} \begin{split} \vec{A}\cdot \vec{B}&=-2-6-2\\ &=-10 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 1번이다.

7번

  1. 온도에 따라 전하 움직임을 방해하는 산란이나 전하 농도가 변하므로 도전율은 온도에 따라 변화한다.
  2. 도전율은 전계를 걸었을 때 생기는 전류밀도의 비율이므로 전류밀도에 비례하고 전계세기에 반비례한다.
  3. 도전율의 단위는 Ω−1/\Omega^{-1}/m이다.
  4. 표류속도는 이동도에 비례하고, 표류속도가 감소하면 전류밀도도 작아지므로 도전율 또한 작아진다.

따라서 답은 1번이다.

8번

인덕터의 에너지는

W=12LI2W=\frac{1}{2}LI^2

이므로 계산하면

27=12L⋅3227=\frac{1}{2}L\cdot 3^2

에서

L=6L=6

이고 답은 3번이다.

9번

η0=377 Ω\eta_0=377\text{ } \Omega이다. 따라서

H=Eη0=10377\begin{equation} \begin{split} H&=\frac{E}{\eta_0}\\ &=\frac{10}{377} \end{split} \end{equation}

이고, 진공이므로 위상이 같고 진행방향이 +z+z 방향임을 고려하면

H⃗=10377cos(3π×108t−πz)ay⃗\vec{H}=\frac{10}{377}cos(3\pi\times 10^8t-\pi z)\vec{a_y}

이고 답은 1번이다.

10번

비오-사바르 법칙에 의해

B⃗=μ04π∫Idl⃗×ar⃗r2\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{Id\vec{l}\times\vec{a_r}}{r^2}

이다. 주어진 조건에서 dl⃗=rdϕaϕ⃗d\vec{l}=rd\phi\vec{a_\phi}이고 적분 범위는 [0,2π][0,2\pi]이다. 대입해서 크기를 구하면

B=μ0⋅14π∫02πrdϕr2∣r=0.1=μ04π⋅10⋅2π=5μ0\begin{equation} \begin{split} B&=\left.\frac{\mu_0\cdot 1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{rd\phi}{r^2}\right|_{r=0.1}\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot 10\cdot 2\pi\\ &=5\mu_0 \end{split} \end{equation}

이다. 그리고 B=μHB=\mu H이므로

H=5H=5

가 되고 답은 3번이다.

11번

커패시턴스는 넓이에 비례하고 간격에 반비례한다. 한편 인덕턴스는 저항과 비슷하므로 넓이에 반비례하고 간격에 비례한다. 이로부터 왼쪽의 커패시턴스를 구하면

C01=ϵr1ϵ0w01d01=4ϵ0w2d=2ϵ0wd\begin{equation} \begin{split} C_{01}&=\epsilon_{r1}\epsilon_0\frac{w_{01}}{d_{01}}\\ &=4\epsilon_0\frac{w}{2d}\\ &=2\epsilon_0\frac{w}{d} \end{split} \end{equation}

이고, 인덕턴스는

L01=μr1μ0d01w01=1⋅μ02dw=2μ0dw\begin{equation} \begin{split} L_{01}&=\mu_{r1}\mu_0\frac{d_{01}}{w_{01}}\\ &=1\cdot\mu_0\frac{2d}{w}\\ &=2\mu_0\frac{d}{w} \end{split} \end{equation}

이다. 같은 방법으로 오른쪽에 대해서 구하면

C02=2ϵ0wdL02=12μ0dw\begin{gather} C_{02}=2\epsilon_0\frac{w}{d}\\ L_{02}=\frac{1}{2}\mu_0\frac{d}{w} \end{gather}

이다. 임피던스는

Z=LCZ=\sqrt{\frac{L}{C}}

이므로

Z01=2μ0dw2ϵ0wd=μ0d2ϵ0w2\begin{equation} \begin{split} Z_{01}&=\sqrt{\frac{2\mu_0\frac{d}{w}}{2\epsilon_0\frac{w}{d}}}\\ &=\sqrt{\frac{\mu_0d^2}{\epsilon_0w^2}} \end{split} \end{equation}

이고,

Z02=μ0d24ϵ0w2=12Z01\begin{equation} \begin{split} Z_{02}&=\sqrt{\frac{\mu_0d^2}{4\epsilon_0w^2}}\\ &=\frac{1}{2}Z_{01} \end{split} \end{equation}

이므로

Z01>Z02Z_{01}\gt Z_{02}

이다.

전파속도는

v=1LCv=\frac{1}{\sqrt{LC}}

이므로

vp1=12ϵ0wd⋅2μ0dw=14ϵ0μ0\begin{equation} \begin{split} v_{p1}&=\frac{1}{\sqrt{2\epsilon_0\frac{w}{d}\cdot 2\mu_0\frac{d}{w}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{4\epsilon_0\mu_0}} \end{split} \end{equation}

이고,

vp2=12ϵ0wd⋅12μ0dw=1ϵ0μ0=2vp1\begin{equation} \begin{split} v_{p2}&=\frac{1}{\sqrt{2\epsilon_0\frac{w}{d}\cdot \frac{1}{2}\mu_0\frac{d}{w}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}\\ &=2v_{p1} \end{split} \end{equation}

이므로

vp1<vp2v_{p1}\lt v_{p2}

이다. 따라서 답은 3번이다.

12번

자속밀도에 시간 성분은 없으므로 정전자계이다. 따라서

∇×1μrμ0B⃗=J⃗\nabla \times \frac{1}{\mu_r\mu_0} \vec{B} = \vec{J}

이다. 계산하면

J⃗=125μ0∣ax⃗ay⃗az⃗∂∂x∂∂y∂∂zBxByBz∣=125μ0∣ax⃗ay⃗az⃗∂∂x∂∂y∂∂z0πz3πy∣=125μ0(ax⃗(3π−π))=2π25μ0×10−6ax⃗\begin{equation} \begin{split} \vec{J}&=\frac{1}{25\mu_0} \begin{vmatrix} \vec{a_x} & \vec{a_y} & \vec{a_z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}\\ &=\frac{1}{25\mu_0} \begin{vmatrix} \vec{a_x} & \vec{a_y} & \vec{a_z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 0 & \pi z & 3\pi y \end{vmatrix}\\ &=\frac{1}{25\mu_0}\left(\vec{a_x}(3\pi-\pi)\right)\\ &=\frac{2\pi}{25\mu_0}\times 10^{-6}\vec{a_x} \end{split} \end{equation}

이다. 한편

μ0=4π×10−7\mu_0=4\pi\times 10^{-7}

이므로 대입하면

J⃗=150×10−6ax⃗×107=0.2ax⃗\begin{equation} \begin{split} \vec{J}&=\frac{1}{50}\times 10^{-6}\vec{a_x}\times 10^7\\ &=0.2\vec{a_x} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

13번

  1. aa가 감소하면 커패시터의 양극 사이 거리가 멀어지므로 전하를 잡아두는 능력이 약해지므로 정전용량 CC는 감소할 것이다.
  2. bb가 증가해도 마찬가지로 양극 사이 거리가 멀어지므로 CC는 작아진다.
  3. ϵr\epsilon_r이 증가하면 전하를 잡아두는 능력이 향상되므로 CC는 증가한다.
  4. 커패시턴스를 제대로 구해보자. QQ만큼의 전하가 충전되어 있고, 전압은 VV라고 하자. 대칭성에 의해 유전체 내의 전기장은
    E⃗=Q2πϵρaρ⃗\vec{E}=\frac{Q}{2\pi \epsilon \rho}\vec{a_\rho}
    이고
    V=∫abE⃗⋅dρ⃗=∫abQ2πϵρdρ=Q2πϵlnba\begin{equation} \begin{split} V&=\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{\rho}\\ &=\int_a^b\frac{Q}{2\pi\epsilon\rho}d\rho\\ &=\frac{Q}{2\pi\epsilon}ln\frac{b}{a} \end{split} \end{equation}
    이다. 따라서
    C=QV=2πϵlnba\begin{equation} \begin{split} C&=\frac{Q}{V}\\ &=\frac{2\pi\epsilon}{ln\frac{b}{a}} \end{split} \end{equation}
    이므로 aa와 bb 모두 두 배가 되면 CC는 변화가 없다.

따라서 1번이 옳다.

14번

C=ϵ0ϵrWd=8.85×10−12×1000×25×10−60.1×10−3=8.85×10−11×25=220×10−11=2.2×10−9\begin{equation} \begin{split} C&=\epsilon_0\epsilon_r \frac{W}{d}\\ &=8.85\times10^{-12}\times 1000 \times \frac{25\times 10^{-6}}{0.1 \times 10^{-3}}\\ &=8.85\times 10^{-11}\times 25\\ &=220\times 10^{-11}\\ &=2.2 \times 10^{-9} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

15번

카르테시안 좌표계로 고쳐 쓰면 P1(0,2,0)P_1(0,2,0)이고 P2(3,3,0)P_2(3,3,0)이다. 따라서 거리는

32+(3−1)2=10\sqrt{3^2+(3-1)^2}=\sqrt{10}

이므로 답은 3번이다.

16번

m=NIA=200×2×0.03=12\begin{equation} \begin{split} m&=NIA\\ &=200\times 2 \times 0.03\\ &=12 \end{split} \end{equation}

이다.

T⃗=m⃗×B⃗\vec{T}=\vec{m}\times \vec{B}

에서

T=mBsinθT=mBsin\theta

이므로 최대 토크값은

12×2=2412\times2=24

이므로 답은 2번이다.

17번

먼저 점전하에 의한 전계를 구하자.

Ep⃗=Q4πϵ0ℜ2aℜ⃗\vec{E_p}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 \Re^2}\vec{a_\Re}

이므로 주어진 조건을 대입하면

Ep=24πϵ0⋅42=132πϵ0\begin{equation} \begin{split} E_p&=\frac{2}{4\pi\epsilon_0\cdot 4^2}\\ &=\frac{1}{32\pi\epsilon_0} \end{split} \end{equation}

이다. 다음으로 두 평면전하에 의한 전계를 구해야 하는데, 점 RR 위치에서 두 평면전하의 전계는 크기는 같고 방향이 서로 반대라 상쇄되므로 답은 3번이다.

18번

∇⋅E⃗=ρϵ\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon}

이고

E⃗=−∇V\vec{E}=-\nabla V

이다. 먼저 전계를 계산하면

E⃗=−(2xzy2+2y)ax⃗−(−2zx2y3+2x)ay⃗−(x2y2−3z2)az⃗\vec{E}=-\left(\frac{2xz}{y^2}+2y\right)\vec{a_x}-\left(\frac{-2zx^2}{y^3}+2x\right)\vec{a_y}-\left(\frac{x^2}{y^2}-3z^2\right)\vec{a_z}

이다.

이를 대입해서 체적전하밀도를 계산하면

ρ=−1.5ϵ0⋅(2zy2+6zx2y4−6z)∣(0,1,1)=−1.5ϵ0⋅(2−6)=6ϵ0\begin{equation} \begin{split} \rho&=-1.5\epsilon_0\cdot\left.\left( \frac{2z}{y^2}+\frac{6zx^2}{y^4}-6z\right)\right|_{(0,1,1)}\\ &=-1.5\epsilon_0 \cdot(2-6)\\ &=6\epsilon_0 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 4번이다.

19번

일은

W=∫F⃗⋅dl⃗W=\int \vec{F}\cdot d\vec{l}

이므로

F(l)=dWdlF(l)=\frac{dW}{dl}

이다. 한편 커패시터에 저장되는 에너지는

W=12CV2W=\frac{1}{2}CV^2

이다. 또한 Q=CVQ=CV에서 유전율을 절반으로 하고 대전전하량을 22배로 하기 위해서는 전압은 44배가 되어야 한다. 따라서 에너지는 8배가 되고, 이를 F(l)F(l)식에 대입하면 88이 곱해지므로 답은 4번이다.

20번

권선수가 NN이면 총 전류는 NINI가 된다. 길이가 매우 길기 때문에 솔레노이드 밖에 자기장은 없다. 솔레노이드의 길이 dd을 중심으로 두는 폐곡선을 따라서

∇×H⃗=J⃗\nabla \times \vec{H}=\vec{J}

의 양변을 적분해보면

d⋅H=d⋅Bμ0μr=NI\begin{equation} \begin{split} d\cdot H&=d\cdot \frac{B}{\mu_0\mu_r}\\ &=NI \end{split} \end{equation}

에서

B=μ0μrNdIB=\mu_0\mu_r\frac{N}{d}I

이므로 답은 1번이다.