1번

일은

$$\begin{equation} \begin{split} W&=\int \vec{F}\cdot d\vec{l}\\ &=q\int_0^2\vec{E}\cdot d\vec{a_x}\\ &=-20\int_0^2 2xdx\\ &=-20\cdot\left.x^2\right|_0^2\\ &=-80 \end{split} \end{equation}$$

이므로 $80 \mu$J의 일이 필요하다. 부호가 $-$인 것은 전기장이 전달해주는 에너지가 $80$이란 것이고, 이를 등속운동시키기 위해서는 외부에서 반대 방향의 일을 해주어야 하므로 $+$부호가 된다. 따라서 답은 4번이다.

2번

표피깊이는

$$\delta=\frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}$$

이다. 변화한 후의 표피깊이는

$$\begin{equation} \begin{split} \delta_2&=\frac{1}{\sqrt{\pi \cdot\frac{1}{2}f \cdot 2\mu \cdot 2\sigma}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi f \mu \sigma}}\\ &=\frac{\delta}{\sqrt{2}} \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 4번이다.

3번

$$\begin{equation} \begin{split} \nabla \cdot \vec{E}&=4x+x+4\\ &=5x+4 \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 2번이다.

4번

직선 도선에 흐르는 전류에 의한 자기장은

$$\vec{B}=\frac{\mu I}{2\pi \rho }\vec{a_\phi}$$

이다. $L_1$에 의한 자기장은

$$\vec{B_1}=\frac{\mu \cdot 1}{2\pi \cdot 2}\vec{a_\phi}$$

이고 $L_2$에 의한 자기장은

$$\vec{B_2}=\frac{\mu I_2}{2\pi \cdot 1}\vec{a_\phi}$$

이다. 이 두 자기장 합이 $0$이어야 하므로 $I_2$의 방향은 $-x$ 방향이고, 크기는 $0.5$여야 한다. 따라서 답은 2번이다.

5번

영상법을 활용하자. 전하량 $-2$ C인 점전하가 $P'(x,y,z)=(1,1,-2)$에 놓여 있는 것과 마찬가지 상황이다. 이 두 점전하 사이에 작용하는 힘의 크기는

$$\begin{equation} \begin{split} |F|&=\left|\frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0r^2}\right|\\ &=\frac{4}{4\pi\epsilon_0\cdot 4^2}\\ &=\frac{1}{16\pi\epsilon_0} \end{split} \end{equation}$$

이다. 따라서 답은 2번이다.

6번

$$\begin{equation} \begin{split} \vec{A}\cdot \vec{B}&=-2-6-2\\ &=-10 \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 1번이다.

7번

1. 온도에 따라 전하 움직임을 방해하는 산란이나 전하 농도가 변하므로 도전율은 온도에 따라 변화한다.
2. 도전율은 전계를 걸었을 때 생기는 전류밀도의 비율이므로 전류밀도에 비례하고 전계세기에 반비례한다.
3. 도전율의 단위는 $\Omega^{-1}/$m이다.
4. 표류속도는 이동도에 비례하고, 표류속도가 감소하면 전류밀도도 작아지므로 도전율 또한 작아진다.

따라서 답은 1번이다.

8번

인덕터의 에너지는

$$W=\frac{1}{2}LI^2$$

이므로 계산하면

$$27=\frac{1}{2}L\cdot 3^2$$

에서

$$L=6$$

이고 답은 3번이다.

9번

$\eta_0=377\text{ }\Omega$이다. 따라서

$$\begin{equation} \begin{split} H&=\frac{E}{\eta_0}\\ &=\frac{10}{377} \end{split} \end{equation}$$

이고, 진공이므로 위상이 같고 진행방향이 $+z$ 방향임을 고려하면

$$\vec{H}=\frac{10}{377}cos(3\pi\times 10^8t-\pi z)\vec{a_y}$$

이고 답은 1번이다.

10번

비오-사바르 법칙에 의해

$$\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{Id\vec{l}\times\vec{a_r}}{r^2}$$

이다. 주어진 조건에서 $d\vec{l}=rd\phi\vec{a_\phi}$이고 적분 범위는 $[0,2\pi]$이다. 대입해서 크기를 구하면

$$\begin{equation} \begin{split} B&=\left.\frac{\mu_0\cdot 1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{rd\phi}{r^2}\right|_{r=0.1}\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi}\cdot 10\cdot 2\pi\\ &=5\mu_0 \end{split} \end{equation}$$

이다. 그리고 $B=\mu H$이므로

$$H=5$$

가 되고 답은 3번이다.

11번

커패시턴스는 넓이에 비례하고 간격에 반비례한다. 한편 인덕턴스는 저항과 비슷하므로 넓이에 반비례하고 간격에 비례한다. 이로부터 왼쪽의 커패시턴스를 구하면

$$\begin{equation} \begin{split} C_{01}&=\epsilon_{r1}\epsilon_0\frac{w_{01}}{d_{01}}\\ &=4\epsilon_0\frac{w}{2d}\\ &=2\epsilon_0\frac{w}{d} \end{split} \end{equation}$$

이고, 인덕턴스는

$$\begin{equation} \begin{split} L_{01}&=\mu_{r1}\mu_0\frac{d_{01}}{w_{01}}\\ &=1\cdot\mu_0\frac{2d}{w}\\ &=2\mu_0\frac{d}{w} \end{split} \end{equation}$$

이다. 같은 방법으로 오른쪽에 대해서 구하면

$$\begin{gather} C_{02}=2\epsilon_0\frac{w}{d}\\ L_{02}=\frac{1}{2}\mu_0\frac{d}{w} \end{gather}$$

이다. 임피던스는

$$Z=\sqrt{\frac{L}{C}}$$

이므로

$$\begin{equation} \begin{split} Z_{01}&=\sqrt{\frac{2\mu_0\frac{d}{w}}{2\epsilon_0\frac{w}{d}}}\\ &=\sqrt{\frac{\mu_0d^2}{\epsilon_0w^2}} \end{split} \end{equation}$$

이고,

$$\begin{equation} \begin{split} Z_{02}&=\sqrt{\frac{\mu_0d^2}{4\epsilon_0w^2}}\\ &=\frac{1}{2}Z_{01} \end{split} \end{equation}$$

이므로

$$Z_{01}\gt Z_{02}$$

이다. 전파속도는

$$v=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

이므로

$$\begin{equation} \begin{split} v_{p1}&=\frac{1}{\sqrt{2\epsilon_0\frac{w}{d}\cdot 2\mu_0\frac{d}{w}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{4\epsilon_0\mu_0}} \end{split} \end{equation}$$

이고,

$$\begin{equation} \begin{split} v_{p2}&=\frac{1}{\sqrt{2\epsilon_0\frac{w}{d}\cdot \frac{1}{2}\mu_0\frac{d}{w}}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}\\ &=2v_{p1} \end{split} \end{equation}$$

이므로

$$v_{p1}\lt v_{p2}$$

이다. 따라서 답은 3번이다.

12번

자속밀도에 시간 성분은 없으므로 정전자계이다. 따라서

$$\nabla \times \frac{1}{\mu_r\mu_0} \vec{B} = \vec{J}$$

이다. 계산하면

$$\begin{equation} \begin{split} \vec{J}&=\frac{1}{25\mu_0} \begin{vmatrix} \vec{a_x} & \vec{a_y} & \vec{a_z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}\\ &=\frac{1}{25\mu_0} \begin{vmatrix} \vec{a_x} & \vec{a_y} & \vec{a_z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 0 & \pi z & 3\pi y \end{vmatrix}\\ &=\frac{1}{25\mu_0}\left(\vec{a_x}(3\pi-\pi)\right)\\ &=\frac{2\pi}{25\mu_0}\times 10^{-6}\vec{a_x} \end{split} \end{equation}$$

이다. 한편

$$\mu_0=4\pi\times 10^{-7}$$

이므로 대입하면

$$\begin{equation} \begin{split} \vec{J}&=\frac{1}{50}\times 10^{-6}\vec{a_x}\times 10^7\\ &=0.2\vec{a_x} \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 2번이다.

13번

1. $a$가 감소하면 커패시터의 양극 사이 거리가 멀어지므로 전하를 잡아두는 능력이 약해지므로 정전용량 $C$는 감소할 것이다.
2. $b$가 증가해도 마찬가지로 양극 사이 거리가 멀어지므로 $C$는 작아진다.
3. $\epsilon_r$이 증가하면 전하를 잡아두는 능력이 향상되므로 $C$는 증가한다.
4. 커패시턴스를 제대로 구해보자. $Q$만큼의 전하가 충전되어 있고, 전압은 $V$라고 하자. 대칭성에 의해 유전체 내의 전기장은 $$\vec{E}=\frac{Q}{2\pi \epsilon \rho}\vec{a_\rho}$$ 이고 $$\begin{equation} \begin{split} V&=\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{\rho}\\ &=\int_a^b\frac{Q}{2\pi\epsilon\rho}d\rho\\ &=\frac{Q}{2\pi\epsilon}ln\frac{b}{a} \end{split} \end{equation}$$ 이다. 따라서 $$\begin{equation} \begin{split} C&=\frac{Q}{V}\\ &=\frac{2\pi\epsilon}{ln\frac{b}{a}} \end{split} \end{equation}$$ 이므로 $a$와 $b$ 모두 두 배가 되면 $C$는 변화가 없다.

따라서 1번이 옳다.

14번

$$\begin{equation} \begin{split} C&=\epsilon_0\epsilon_r \frac{W}{d}\\ &=8.85\times10^{-12}\times 1000 \times \frac{25\times 10^{-6}}{0.1 \times 10^{-3}}\\ &=8.85\times 10^{-11}\times 25\\ &=220\times 10^{-11}\\ &=2.2 \times 10^{-9} \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 2번이다.

15번

카르테시안 좌표계로 고쳐 쓰면 $P_1(0,2,0)$이고 $P_2(3,3,0)$이다. 따라서 거리는

$$\sqrt{3^2+(3-1)^2}=\sqrt{10}$$

이므로 답은 3번이다.

16번

$$\begin{equation} \begin{split} m&=NIA\\ &=200\times 2 \times 0.03\\ &=12 \end{split} \end{equation}$$

이다.

$$\vec{T}=\vec{m}\times \vec{B}$$

에서

$$T=mBsin\theta$$

이므로 최대 토크값은

$$12\times2=24$$

이므로 답은 2번이다.

17번

먼저 점전하에 의한 전계를 구하자.

$$\vec{E_p}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 \Re^2}\vec{a_\Re}$$

이므로 주어진 조건을 대입하면

$$\begin{equation} \begin{split} E_p&=\frac{2}{4\pi\epsilon_0\cdot 4^2}\\ &=\frac{1}{32\pi\epsilon_0} \end{split} \end{equation}$$

이다. 다음으로 두 평면전하에 의한 전계를 구해야 하는데, 점 $R$ 위치에서 두 평면전하의 전계는 크기는 같고 방향이 서로 반대라 상쇄되므로 답은 3번이다.

18번

$$\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon}$$

이고

$$\vec{E}=-\nabla V$$

이다. 먼저 전계를 계산하면

$$\vec{E}=-\left(\frac{2xz}{y^2}+2y\right)\vec{a_x}-\left(\frac{-2zx^2}{y^3}+2x\right)\vec{a_y}-\left(\frac{x^2}{y^2}-3z^2\right)\vec{a_z}$$

이다. 이를 대입해서 체적전하밀도를 계산하면

$$\begin{equation} \begin{split} \rho&=-1.5\epsilon_0\cdot\left.\left( \frac{2z}{y^2}+\frac{6zx^2}{y^4}-6z\right)\right|_{(0,1,1)}\\ &=-1.5\epsilon_0 \cdot(2-6)\\ &=6\epsilon_0 \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 4번이다.

19번

일은

$$W=\int \vec{F}\cdot d\vec{l}$$

이므로

$$F(l)=\frac{dW}{dl}$$

이다. 한편 커패시터에 저장되는 에너지는

$$W=\frac{1}{2}CV^2$$

이다. 또한 $Q=CV$에서 유전율을 절반으로 하고 대전전하량을 $2$배로 하기 위해서는 전압은 $4$배가 되어야 한다. 따라서 에너지는 8배가 되고, 이를 $F(l)$식에 대입하면 $8$이 곱해지므로 답은 4번이다.

20번

권선수가 $N$이면 총 전류는 $NI$가 된다. 길이가 매우 길기 때문에 솔레노이드 밖에 자기장은 없다. 솔레노이드의 길이 $d$을 중심으로 두는 폐곡선을 따라서

$$\nabla \times \vec{H}=\vec{J}$$

의 양변을 적분해보면

$$\begin{equation} \begin{split} d\cdot H&=d\cdot \frac{B}{\mu_0\mu_r}\\ &=NI \end{split} \end{equation}$$

에서

$$B=\mu_0\mu_r\frac{N}{d}I$$

이므로 답은 1번이다.

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