1번

전속밀도벡터와 전기장의 관계는

$$\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$$

이고

$$\nabla \cdot \vec{D}=\rho_v$$

이다. 주어진 조건을 대입해서 계산하면

$$\begin{equation} \begin{split} \rho_v&=\nabla \cdot 2(x^2+y^2)\vec{a_x} \varepsilon_0|_{x=3,y=2,z=11}\\ &=4x\varepsilon_0|_{x=3,y=2,z=1}=12\varepsilon_0 \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 1번이다.

2번

파동의 속도는

$$\begin{equation} \begin{split} v&=\frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}\\ &=\frac{3.0\times 10^8}{\sqrt{6\cdot 1.5}}\\ &=\frac{3.0\times 10^8}{\sqrt{9}}\\ &=1.0\times 10^8 \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 2번이다.

3번

두 매질의 경계를 중심으로 평면에 수직 방향의 $\vec{B}$는 같아야 하므로

$$\begin{gather} 6\mu_1=H_{2z}\mu_2\\ \Rightarrow 24=2H_{2z}\\ \Rightarrow H_{2z}=12 \end{gather}$$

이다. 다음으로 경계에 평행한 $x,y$방향의 $\vec{H}$ 성분이 같아야 하는 조건까지 적용하면

$$\vec{H_2}=3\vec{a_x}+4\vec{a_y}+12\vec{a_z}$$

이니 답은 2번이다.

4번

자기저항은

$$\Re=\frac{L}{\mu A}$$

이다. 주어진 자성체의 자기저항은

$$\begin{equation} \begin{split} \Re_1&=\frac{2.5}{100\mu_0 \cdot 2.5\cdot 10^{-4}}\\ &=\frac{100}{\mu_0} \end{split} \end{equation}$$

이다. 그리고 공극의 자기저항은

$$\begin{equation} \begin{split} \Re_2&=\frac{0.25\cdot 10^{-3}}{\mu_0 \cdot 2.5\cdot 10^{-4}}\\ &=\frac{1}{\mu_0} \end{split} \end{equation}$$

이다. 따라서 총 자기저항은

$$\begin{equation} \begin{split} \Re&=\Re_1+\Re_2\\ &=\frac{101}{\mu_0} \end{split} \end{equation}$$

이므로 권선수 $100$을 고려한 자속은

$$\begin{equation} \begin{split} \Phi&=\frac{I}{\Re}\\ &=\frac{1.01*100\mu_0}{101}\\ &=\mu_0 \end{split} \end{equation}$$

이고 답은 3번이다.

5번

자기장과 벡터 자기 포텐셜의 관계는

$$\vec{B}=\nabla \times \vec{A}$$

이다. 원통 좌표계에서의 회전은

$$\nabla \times \vec{A}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{a_\rho} & \rho\vec{a_\phi} & \vec{a_z} \\ \frac{\partial }{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_\rho & \rho A_\phi & A_z \end{vmatrix}$$

이므로 대입하면

$$\begin{equation} \begin{split} \vec{B}&=\nabla \times \vec{A}\\ &=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{a_\rho} & \rho\vec{a_\phi} & \vec{a_z} \\ \frac{\partial }{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & -\frac{\rho^2}{4} \end{vmatrix}\\ &=\frac{1}{\rho}\left(-\rho \vec{a_\phi}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(-\frac{\rho^2}{4}\right)\right)\\ &=\vec{a_\phi}\frac{2\rho}{4}=\frac{\rho}{2}\vec{a_\phi} \end{split} \end{equation}$$

이다. 자속의 크기는

$$\begin{equation} \begin{split} \iint \vec{B}\cdot d\vec{S}&=\int_0^4 \int_1^2 \frac{\rho}{2} \cdot d\rho dz\\ &=\left.4\cdot \frac{\rho^2}{4}\right|_1^2\\ &=\left.\rho^2\right|_1^2\\ &=3 \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 1번이다.

6번

1. 어떤 한 위상은 $$p=10^8t+3z$$ 이므로 양변을 $t$로 미분하면 $$\begin{gather} 0=10^8+3\frac{dz}{dt} \\ \Rightarrow \frac{dz}{dt}=-\frac{10^8}{3} \end{gather}$$ 이다. 따라서 진행 방향은 $-\vec{a_z}$이다.
2. 포인팅벡터의 방향은 파의 진행방향이므로 $-\vec{a_z}$이다.
3. 평면파의 주파수는 $$\begin{gather} 2\pi f=10^8\\ \Rightarrow f=\frac{100}{2\pi} \text{ MHz} \end{gather}$$ 이다.
4. 1번 보기에서 에서 속도가 빛의 속도의 1/9배이므로 자유공간이 아닌 매질에서 진행하고 있음을 알 수 있다.

따라서 답은 4번이다.

7번

주어진 막대에 가해지는 자기장은 지면을 똟고 들어가는 방향이다.

(A)의 경우 속도 방향을 고려하면 로렌츠 힘은 $y$방향으로 가해진다. 막대 두께가 $0$이라고 하면 전하들이 로렌츠 힘을 받아서 분리될 수 없으므로 기전력은 생길 수 없다.

(B)의 경우 $x$ 방향으로 로렌츠 힘이 가해지므로 이 힘이 전하들을 움직이는 기전력의 근원이다. 위치 $x$에 대해 걸리는 자기력으로 인한 로런츠 힘의 크기는

$$F=\frac{v_0\mu_0I}{2\pi x}$$

이므로 $x$에 대해 적분하면

$$\begin{equation} \begin{split} V&=\int_a^{2a}\frac{v_0\mu_0I}{2\pi x} dx\\ &=\frac{v_0\mu_0I}{2\pi}ln\frac{2a}{a}\\ &=\frac{v_0\mu_0I}{2\pi}ln2 \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 2번이다.

8번

군속도는

$$v_g=\frac{d\omega}{d\beta}$$

이므로 먼저 주어진 식을 미분하면

$$\frac{d\beta}{d\omega}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu\sigma}{2\omega}}$$

이다. 이의 역수를 취하면

$$v_g=2\sqrt{\frac{2\omega}{\mu\sigma}}$$

이므로 답은 4번이다.

9번

첫 이동에서의 전위차는

$$\begin{equation} \begin{split} V_1&=\int_0^4\vec{E}\cdot d\vec{x}\\ &=\left.\int_0^4\left(\frac{x}{2}+4y^2\right)\vec{a_x}\cdot d\vec{x}\right|_{y=0}\\ &=\left[\frac{x^2}{4}\right]_0^4\\ &=4 \end{split} \end{equation}$$

이다. 두 번째 이동에서의 전위차는

$$\begin{equation} \begin{split} V_2&=\int_0^2 \vec{E}\cdot d\vec{y}\\ &=\left. \int_0^2 2x\vec{a_y}\cdot d\vec{y}\right|_{x=4}\\ &=8\cdot 2\\ &=16 \end{split} \end{equation}$$

이다. 따라서 총 전위차는 $4+16=20$ V이고, 소모된 일의 양은 전하량을 곱해야 하므로 $20\cdot 20=400\text{ }\mu$J이고 답은 3번이다.

10번

공기 중에서 전계를 유전체에 가하면 유전체 내부의 총 전계는 분극에 의해서 변한다. 변하지 않는 것은 전하 밀도에 의한 벡터인 $\vec{D}$이므로 답은 3번이다.

11번

로렌츠 힘은

$$\begin{equation} \begin{split} \vec{F}&=q(\vec{v}\times \vec{B}+\vec{E})\\ &=(10\vec{a_y}\times 4\vec{a_z})\\ &=40\vec{a_x}\cdot 10^{-6} \end{split} \end{equation}$$

이다. 따라서 가속도를 구하면

$$\begin{equation} \begin{split} \vec{a}&=\vec{F}/M\\ &=40\vec{a_x}\cdot 10^{-6}/10^{-3}\\ &=0.04\vec{a_x} \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 3번이다.

12번

자계가 원형코일에 영향을 미치는 영역은 원형코일의 정사영이므로

$$\begin{equation} \begin{split} 10^2\pi sin30^\circ&=100\pi \cdot \frac{1}{2}\\ &=50\pi \end{split} \end{equation}$$

이다. 따라서 자속은

$$\begin{equation} \begin{split} \Phi&=\frac{1000}{\pi^2}\cdot 50\pi \cdot 4\pi \cdot 10^{-7}\\ &=2\times 10^{-2} \end{split} \end{equation}$$

이다. 그러므로 답은 2번 이다.

13번

전위는

$$V=-\int \vec{E}\cdot d\vec{l}$$

이다. $x$방향 전위차를 구하면

$$\begin{equation} \begin{split} \int_1^2 2xdx&=\left[x^2\right]_1^2\\ &=3 \end{split} \end{equation}$$

이고, $y$방향 전위차를 구하면

$$\begin{equation} \begin{split} \int_1 ^0 3y^2dy&=\left[y^3\right]_1 ^0\\ &=-1 \end{split} \end{equation}$$

이다. 마지막으로 $z$방향에 대해 구하면

$$\begin{equation} \begin{split} \int_0^3 3 dz&=\left[3z\right]_0^3\\ &=9 \end{split} \end{equation}$$

이므로 총 전위차는 $3-1+9=11$ V이다.

14번

자기력은 전류 방향과 자속밀도 방향의 외적 방향이므로 이 둘에 수직이다. 구체적으로는

$$\begin{equation} \begin{split} \vec{F_m}&=IL\vec{a_I}\times \vec{B}\\ &=0.5\cdot 1\vec{a_z}\times 2\left(\vec{a_x}+\vec{a_y}\right)\\ &=-\vec{a_x}+\vec{a_y} \end{split} \end{equation}$$

이므로

$$-\frac{\vec{a_x}}{\sqrt{2}},\frac{\vec{a_y}}{\sqrt{2}}$$

의 벡터 합으로 정해진다. 한편 $\vec{F_m}$의 크기는 $\sqrt{2}\times 10^{-3}$ N이므로 4번이 옳지 않다.

15번

동축 케이블의 내외부 도체에 전압 $V$가 걸리고 전하밀도 $\rho_l$이 생긴다고 하자. 동축 케이블 내의 전기장은 대칭성에 의해

$$\vec{E}=\frac{\rho_l}{2\varepsilon \pi \rho}\vec{a_\rho}$$

이다. 따라서

$$\begin{equation} \begin{split} V&=\int_a^b\vec{E}\cdot d{\rho}\\ &=\int_2^4\frac{\rho_l}{2\varepsilon \pi \rho} d\rho\\ &=\frac{\rho_l}{2\varepsilon \pi}ln\frac{4}{2}\\ &=\frac{\rho_l}{2\varepsilon \pi}ln2 \end{split} \end{equation}$$

이다.

이제 두 가지 방법으로 풀어보자.

풀이1$\text{)}$

커패시턴스는

$$C=L\frac{\rho_l}{V}=0.1\cdot \frac{2\varepsilon\pi}{ln2}$$

이다. 한편

$$\begin{equation} \begin{split} R&=\frac{V}{I}\\ &=\frac{\int \vec{E}\cdot d\vec{l}}{\int \sigma\vec{E}\cdot d\vec{S}} \end{split} \end{equation}$$

이고

$$\begin{equation} \begin{split} C&=\frac{Q}{V}\\ &=\frac{\int\varepsilon\vec{E}\cdot d\vec{S}}{\int \vec{E}\cdot d\vec{l}} \end{split} \end{equation}$$

이므로

$$\begin{equation} \begin{split} RC&=\frac{\int\varepsilon\vec{E}\cdot d\vec{S}}{\int \sigma\vec{E}\cdot d\vec{S}}\\ &=\frac{\varepsilon}{\sigma} \end{split} \end{equation}$$

이다. 이를 이용하면

$$\begin{equation} \begin{split} R&=\frac{\varepsilon}{\sigma}\frac{ln2}{0.2\varepsilon\pi}\\ &=\frac{ln2}{0.2\pi}\times10^{4}\\ &=\frac{ln2}{2\pi}\times10^{5} \end{split} \end{equation}$$

이고 답은 4번이다. (오타 발견 및 정정해주신 통신해보자님, 경례하는 프로도님, 전자상가님 감사합니다)

풀이2$\text{)}$ 전류밀도는

$$\begin{equation} \begin{split} \vec{J}&=\sigma\vec{E}\\ &=\frac{\sigma\rho_l}{2\pi\varepsilon\rho}\vec{a_\rho} \end{split} \end{equation}$$

이므로 전류를 구하면

$$\begin{equation} \begin{split} I&=\int \vec{J}\cdot d\vec{S}\\ &=\frac{\sigma\rho_l}{2\pi\varepsilon\rho}\times10\times10^{-2}\times2\pi\rho\\ &=\frac{\sigma\rho_l}{\varepsilon}\times0.1\\ &=\frac{\sigma\rho_l}{10\varepsilon} \end{split} \end{equation}$$

이다. 그리고 옴의 법칙과 위에서 구한 전압을 이용하면

$$\begin{equation} \begin{split} R&=\frac{V}{I}\\ &=\frac{10\varepsilon}{\sigma\rho_l}\times\frac{\rho_l}{2\varepsilon\pi}\times ln2\\ &=\frac{10}{\sigma}\times\frac{1}{2\pi}\times ln2\\ &=\frac{ln2}{2\pi}\times10^5\ \end{split} \end{equation}$$

이다.

16번

유도 기전력은

$$\begin{equation} \begin{split} emf&=-\frac{d\Phi}{dt}\\ &=-\frac{d}{dt}\left(\pi\cdot 0.01 \cdot 0.2 sin 10^3t\right)\\ &=-\pi\cdot 0.01\cdot 0.2 \cdot 10^3 cos10^3t\\ &=-2\pi cos10^3t \end{split} \end{equation}$$

이다. 따라서 전류의 크기는 이를 저항으로 나눠주면 되므로 $0.4\pi cos 10^3t$이고 답은 1번이다.

17번

$z=2d$에서는 두 전류에 의한 자계가 상쇄되므로 $0$이다. $z=\frac{d}{2}$에서는 자계 방향이 $-\vec{a_x}$방향이다. 따라서 답은 4번이다.

18번

$\frac{1}{4}\lambda_g$의 길이를 갖는 전송선로의 입력 임피던스는

$$\begin{equation} \begin{split} Z_{\lambda_g}&=\left.Z_0 \frac{Z_L+jZ_0tan(\beta l)}{Z_0+jZ_Ltan(\beta l)}\right|_{l=\lambda_g/4,\beta=2\pi/\lambda_g}\\ &=\frac{Z_0^2}{Z_L} \end{split} \end{equation}$$

이다. 여기서 $Z_L=100$이고, 임피던스 정합이 이루어졌으니

$$\begin{gather} Z_{\lambda_g}=\frac{Z_0^2}{100}=49\\ \Rightarrow Z_0^2=100\cdot 49\\ \Rightarrow Z_0=70 \end{gather}$$

이다.

$$Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}$$

이므로

$$\begin{equation} \begin{split} C&=\frac{L}{Z_0^2}\\ &=\frac{19.6\cdot 10^{-6}}{4900} \end{split} \end{equation}$$

이다. 이로부터 전파 속도를 계산하면

$$\begin{equation} \begin{split} v&=\frac{1}{\sqrt{LC}}\\ &=\frac{70}{19.6\cdot 10^{-6}}\\ &=\frac{10}{28\cdot 10^{-7}} \end{split} \end{equation}$$

이므로

$$\begin{equation} \begin{split} \lambda_g&=\frac{v}{f}\\ &=\frac{10}{28\cdot 10^{-7}}\cdot \frac{1}{10^{8}}\\ &=\frac{1}{28} \end{split} \end{equation}$$

이다. 따라서

$$\begin{equation} \begin{split} l&=\frac{\lambda_g}{4}\\ &=\frac{1}{4\cdot28}\\ &=\frac{1}{4\sqrt{784}} \end{split} \end{equation}$$

이므로 답은 1번이다.

19번

$$\begin{gather} \vec{T}=\vec{m}\times \vec{B} \\ \begin{equation} \begin{split} \Rightarrow T&=mBsin\theta\\ &=NIABsin\theta \end{split} \end{equation} \end{gather}$$

에서 $\theta=0$이면 토크는 생기지 않는다. 2. 위 식에서

$$B=\frac{T}{NIAsin\theta}$$

이다.

그리고 토크의 방향은 $\vec{m}$과 $\vec{B}$에 수직이다. 따라서 2번이 옳다.

20번

1. 전반사가 발생하기 위해서는 1에서의 굴절률이 2에서보다 커야 한다. 그래야 2로 들어가려는 빛이 더 느린 쪽인 1 쪽으로 휘어서 전반사가 일어날 수 있다. 그리고 굴절률 $n$은 $\sqrt{\varepsilon}$에 비례하므로 $$\varepsilon_1 \gt \varepsilon_2$$ 여야 한다.
2. 그렇다.
3. 그렇다. 입사하는 방향을 +로 생각하면 반사하는 값은 -가 곱해진 것으로 생각할 수 있으므로, 반사하는 값의 절댓값을 구하려면 -를 곱해야 한다. 그러면 1=(입사)=(투과)+|(반사)|가 된다.
4. 브루스터 각도는 특정 편파에는 없을 수 있다.

따라서 답은 4번이다.

댓글

불러오는 중…