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2020 7급 국가직 전기자기학

1번

전속밀도벡터와 전기장의 관계는

D⃗=εE⃗\vec{D}=\varepsilon\vec{E}

이고

∇⋅D⃗=ρv\nabla \cdot \vec{D}=\rho_v

이다. 주어진 조건을 대입해서 계산하면

ρv=∇⋅2(x2+y2)ax⃗ε0∣x=3,y=2,z=11=4xε0∣x=3,y=2,z=1=12ε0\begin{equation} \begin{split} \rho_v&=\nabla \cdot 2(x^2+y^2)\vec{a_x} \varepsilon_0|_{x=3,y=2,z=11}\\ &=4x\varepsilon_0|_{x=3,y=2,z=1}=12\varepsilon_0 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 1번이다.

2번

파동의 속도는

v=cμrεr=3.0×1086⋅1.5=3.0×1089=1.0×108\begin{equation} \begin{split} v&=\frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}}\\ &=\frac{3.0\times 10^8}{\sqrt{6\cdot 1.5}}\\ &=\frac{3.0\times 10^8}{\sqrt{9}}\\ &=1.0\times 10^8 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

3번

두 매질의 경계를 중심으로 평면에 수직 방향의 B⃗\vec{B}는 같아야 하므로

6μ1=H2zμ2⇒24=2H2z⇒H2z=12\begin{gather} 6\mu_1=H_{2z}\mu_2\\ \Rightarrow 24=2H_{2z}\\ \Rightarrow H_{2z}=12 \end{gather}

이다. 다음으로 경계에 평행한 x,yx,y방향의 H⃗\vec{H} 성분이 같아야 하는 조건까지 적용하면

H2⃗=3ax⃗+4ay⃗+12az⃗\vec{H_2}=3\vec{a_x}+4\vec{a_y}+12\vec{a_z}

이니 답은 2번이다.

4번

자기저항은

ℜ=LμA\Re=\frac{L}{\mu A}

이다. 주어진 자성체의 자기저항은

ℜ1=2.5100μ0⋅2.5⋅10−4=100μ0\begin{equation} \begin{split} \Re_1&=\frac{2.5}{100\mu_0 \cdot 2.5\cdot 10^{-4}}\\ &=\frac{100}{\mu_0} \end{split} \end{equation}

이다. 그리고 공극의 자기저항은

ℜ2=0.25⋅10−3μ0⋅2.5⋅10−4=1μ0\begin{equation} \begin{split} \Re_2&=\frac{0.25\cdot 10^{-3}}{\mu_0 \cdot 2.5\cdot 10^{-4}}\\ &=\frac{1}{\mu_0} \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 총 자기저항은

ℜ=ℜ1+ℜ2=101μ0\begin{equation} \begin{split} \Re&=\Re_1+\Re_2\\ &=\frac{101}{\mu_0} \end{split} \end{equation}

이므로 권선수 100100을 고려한 자속은

Φ=Iℜ=1.01∗100μ0101=μ0\begin{equation} \begin{split} \Phi&=\frac{I}{\Re}\\ &=\frac{1.01*100\mu_0}{101}\\ &=\mu_0 \end{split} \end{equation}

이고 답은 3번이다.

5번

자기장과 벡터 자기 포텐셜의 관계는

B⃗=∇×A⃗\vec{B}=\nabla \times \vec{A}

이다. 원통 좌표계에서의 회전은

∇×A⃗=1ρ∣aρ⃗ρaϕ⃗az⃗∂∂ρ∂∂ϕ∂∂zAρρAϕAz∣\nabla \times \vec{A}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{a_\rho} & \rho\vec{a_\phi} & \vec{a_z} \\ \frac{\partial }{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_\rho & \rho A_\phi & A_z \end{vmatrix}

이므로 대입하면

B⃗=∇×A⃗=1ρ∣aρ⃗ρaϕ⃗az⃗∂∂ρ∂∂ϕ∂∂z00−ρ24∣=1ρ(−ρaϕ⃗∂∂ρ(−ρ24))=aϕ⃗2ρ4=ρ2aϕ⃗\begin{equation} \begin{split} \vec{B}&=\nabla \times \vec{A}\\ &=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{a_\rho} & \rho\vec{a_\phi} & \vec{a_z} \\ \frac{\partial }{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & -\frac{\rho^2}{4} \end{vmatrix}\\ &=\frac{1}{\rho}\left(-\rho \vec{a_\phi}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(-\frac{\rho^2}{4}\right)\right)\\ &=\vec{a_\phi}\frac{2\rho}{4}=\frac{\rho}{2}\vec{a_\phi} \end{split} \end{equation}

이다. 자속의 크기는

∬B⃗⋅dS⃗=∫04∫12ρ2⋅dρdz=4⋅ρ24∣12=ρ2∣12=3\begin{equation} \begin{split} \iint \vec{B}\cdot d\vec{S}&=\int_0^4 \int_1^2 \frac{\rho}{2} \cdot d\rho dz\\ &=\left.4\cdot \frac{\rho^2}{4}\right|_1^2\\ &=\left.\rho^2\right|_1^2\\ &=3 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 1번이다.

6번

  1. 어떤 한 위상은
    p=108t+3zp=10^8t+3z
    이므로 양변을 tt로 미분하면
    0=108+3dzdt⇒dzdt=−1083\begin{gather} 0=10^8+3\frac{dz}{dt} \\ \Rightarrow \frac{dz}{dt}=-\frac{10^8}{3} \end{gather}
    이다. 따라서 진행 방향은 −az⃗-\vec{a_z}이다.
  2. 포인팅벡터의 방향은 파의 진행방향이므로 −az⃗-\vec{a_z}이다.
  3. 평면파의 주파수는
    2πf=108⇒f=1002π MHz\begin{gather} 2\pi f=10^8\\ \Rightarrow f=\frac{100}{2\pi} \text{ MHz} \end{gather}
    이다.
  4. 1번 보기에서 에서 속도가 빛의 속도의 1/9배이므로 자유공간이 아닌 매질에서 진행하고 있음을 알 수 있다.

따라서 답은 4번이다.

7번

주어진 막대에 가해지는 자기장은 지면을 똟고 들어가는 방향이다.

(A)의 경우 속도 방향을 고려하면 로렌츠 힘은 yy방향으로 가해진다. 막대 두께가 00이라고 하면 전하들이 로렌츠 힘을 받아서 분리될 수 없으므로 기전력은 생길 수 없다.

(B)의 경우 xx 방향으로 로렌츠 힘이 가해지므로 이 힘이 전하들을 움직이는 기전력의 근원이다. 위치 xx에 대해 걸리는 자기력의 크기는 대칭성에 의해

H=v0μ0I2πxH=\frac{v_0\mu_0I}{2\pi x}

이므로 xx에 대해 적분하면

V=∫a2av0μ0I2πxdx=v0μ0I2πln2aa=v0μ0I2πln2\begin{equation} \begin{split} V&=\int_a^{2a}\frac{v_0\mu_0I}{2\pi x} dx\\ &=\frac{v_0\mu_0I}{2\pi}ln\frac{2a}{a}\\ &=\frac{v_0\mu_0I}{2\pi}ln2 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

8번

군속도는

vg=dωdβv_g=\frac{d\omega}{d\beta}

이므로 먼저 주어진 식을 미분하면

dβdω=12μσ2ω\frac{d\beta}{d\omega}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu\sigma}{2\omega}}

이다. 이의 역수를 취하면

vg=22ωμσv_g=2\sqrt{\frac{2\omega}{\mu\sigma}}

이므로 답은 4번이다.

9번

첫 이동에서의 전위차는

V1=∫04E⃗⋅dx⃗=∫04(x2+4y2)ax⃗⋅dx⃗∣y=0=[x24]04=4\begin{equation} \begin{split} V_1&=\int_0^4\vec{E}\cdot d\vec{x}\\ &=\left.\int_0^4\left(\frac{x}{2}+4y^2\right)\vec{a_x}\cdot d\vec{x}\right|_{y=0}\\ &=\left[\frac{x^2}{4}\right]_0^4\\ &=4 \end{split} \end{equation}

이다. 두 번째 이동에서의 전위차는

V2=∫02E⃗⋅dy⃗=∫022xay⃗⋅dy⃗∣x=4=8⋅2=16\begin{equation} \begin{split} V_2&=\int_0^2 \vec{E}\cdot d\vec{y}\\ &=\left. \int_0^2 2x\vec{a_y}\cdot d\vec{y}\right|_{x=4}\\ &=8\cdot 2\\ &=16 \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 총 전위차는 4+16=204+16=20 V이고, 소모된 일의 양은 전하량을 곱해야 하므로 20⋅20=400 μ20\cdot 20=400\text{ }\muJ이고 답은 3번이다.

10번

공기 중에서 전계를 유전체에 가하면 유전체 내부의 총 전계는 분극에 의해서 변한다. 변하지 않는 것은 전하 밀도에 의한 벡터인 D⃗\vec{D}이므로 답은 3번이다.

11번

로렌츠 힘은

F⃗=q(v⃗×B⃗+E⃗)=(10ay⃗×4az⃗)=40ax⃗⋅10−6\begin{equation} \begin{split} \vec{F}&=q(\vec{v}\times \vec{B}+\vec{E})\\ &=(10\vec{a_y}\times 4\vec{a_z})\\ &=40\vec{a_x}\cdot 10^{-6} \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 가속도를 구하면

a⃗=F⃗/M=40ax⃗⋅10−6/10−3=0.04ax⃗\begin{equation} \begin{split} \vec{a}&=\vec{F}/M\\ &=40\vec{a_x}\cdot 10^{-6}/10^{-3}\\ &=0.04\vec{a_x} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 3번이다.

12번

자계가 원형코일에 영향을 미치는 영역은 원형코일의 정사영이므로

102πsin30∘=100π⋅12=50π\begin{equation} \begin{split} 10^2\pi sin30^\circ&=100\pi \cdot \frac{1}{2}\\ &=50\pi \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 자속은

Φ=1000π2⋅50π⋅4π⋅10−7=2×10−2\begin{equation} \begin{split} \Phi&=\frac{1000}{\pi^2}\cdot 50\pi \cdot 4\pi \cdot 10^{-7}\\ &=2\times 10^{-2} \end{split} \end{equation}

이다. 그러므로 답은 2번 이다.

13번

전위는

V=−∫E⃗⋅dl⃗V=-\int \vec{E}\cdot d\vec{l}

이다. xx방향 전위차를 구하면

∫122xdx=[x2]12=3\begin{equation} \begin{split} \int_1^2 2xdx&=\left[x^2\right]_1^2\\ &=3 \end{split} \end{equation}

이고, yy방향 전위차를 구하면

∫103y2dy=[y3]10=−1\begin{equation} \begin{split} \int_1 ^0 3y^2dy&=\left[y^3\right]_1 ^0\\ &=-1 \end{split} \end{equation}

이다. 마지막으로 zz방향에 대해 구하면

∫033dz=[3z]03=9\begin{equation} \begin{split} \int_0^3 3 dz&=\left[3z\right]_0^3\\ &=9 \end{split} \end{equation}

이므로 총 전위차는 3−1+9=113-1+9=11 V이다.

14번

자기력은 전류 방향과 자속밀도 방향의 외적 방향이므로 이 둘에 수직이다. 구체적으로는

Fm⃗=ILaI⃗×B⃗=0.5⋅1az⃗×2(ax⃗+ay⃗)=−ax⃗+ay⃗\begin{equation} \begin{split} \vec{F_m}&=IL\vec{a_I}\times \vec{B}\\ &=0.5\cdot 1\vec{a_z}\times 2\left(\vec{a_x}+\vec{a_y}\right)\\ &=-\vec{a_x}+\vec{a_y} \end{split} \end{equation}

이므로

−ax⃗2,ay⃗2-\frac{\vec{a_x}}{\sqrt{2}},\frac{\vec{a_y}}{\sqrt{2}}

의 벡터 합으로 정해진다. 한편 Fm⃗\vec{F_m}의 크기는 2×10−3\sqrt{2}\times 10^{-3} N이므로 4번이 옳지 않다.

15번

동축 케이블의 양단에 전압 VV가 걸리고 전하밀도 ρl\rho_l이 생긴다고 하자. 동축 케이블 내의 전기장은 대칭성에 의해

E⃗=ρl2επρaρ⃗\vec{E}=\frac{\rho_l}{2\varepsilon \pi \rho}\vec{a_\rho}

이다. 따라서

V=∫abE⃗⋅dρ=∫24ρl2επρdρ=ρl2επln42=ρl2επln2\begin{equation} \begin{split} V&=\int_a^b\vec{E}\cdot d{\rho}\\ &=\int_2^4\frac{\rho_l}{2\varepsilon \pi \rho} d\rho\\ &=\frac{\rho_l}{2\varepsilon \pi}ln\frac{4}{2}\\ &=\frac{\rho_l}{2\varepsilon \pi}ln2 \end{split} \end{equation}

이다. 그러므로 커패시턴스는

C=LρlV=0.1⋅2επln2C=L\frac{\rho_l}{V}=0.1\cdot \frac{2\varepsilon\pi}{ln2}

이다. 한편

R=VI=∫E⃗⋅dl⃗∫σE⃗⋅dS⃗\begin{equation} \begin{split} R&=\frac{V}{I}\\ &=\frac{\int \vec{E}\cdot d\vec{l}}{\int \sigma\vec{E}\cdot d\vec{S}} \end{split} \end{equation}

이고

C=QV=∫εE⃗⋅dS⃗∫E⃗⋅dl⃗\begin{equation} \begin{split} C&=\frac{Q}{V}\\ &=\frac{\int\varepsilon\vec{E}\cdot d\vec{S}}{\int \vec{E}\cdot d\vec{l}} \end{split} \end{equation}

이므로

RC=∫εE⃗⋅dS⃗∫σE⃗⋅dS⃗=εσ\begin{equation} \begin{split} RC&=\frac{\int\varepsilon\vec{E}\cdot d\vec{S}}{\int \sigma\vec{E}\cdot d\vec{S}}\\ &=\frac{\varepsilon}{\sigma} \end{split} \end{equation}

이다. 이를 이용하면

R=εσln20.2επ=ln20.2π10−4=ln22π10−5\begin{equation} \begin{split} R&=\frac{\varepsilon}{\sigma}\frac{ln2}{0.2\varepsilon\pi}\\ &=\frac{ln2}{0.2\pi}10^{-4}\\ &=\frac{ln2}{2\pi}10^{-5} \end{split} \end{equation}

이고 답은 4번이다.

16번

유도 기전력은

emf=−dΦdt=−ddt(π⋅0.01⋅0.2sin103t)=−π⋅0.01⋅0.2⋅103cos103t=−2πcos103t\begin{equation} \begin{split} emf&=-\frac{d\Phi}{dt}\\ &=-\frac{d}{dt}\left(\pi\cdot 0.01 \cdot 0.2 sin 10^3t\right)\\ &=-\pi\cdot 0.01\cdot 0.2 \cdot 10^3 cos10^3t\\ &=-2\pi cos10^3t \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 전류의 크기는 이를 저항으로 나눠주면 되므로 0.4πcos103t0.4\pi cos 10^3t이고 답은 1번이다.

17번

z=2dz=2d에서는 두 전류에 의한 자계가 상쇄되므로 00이다. z=d2z=\frac{d}{2}에서는 자계 방향이 −ax⃗-\vec{a_x}방향이다. 따라서 답은 4번이다.

18번

14λg\frac{1}{4}\lambda_g의 길이를 갖는 전송선로의 입력 임피던스는

Zλg=Z0ZL+jZ0tan(βl)Z0+jZLtan(βl)∣l=λg/4,β=2π/λg=Z02ZL\begin{equation} \begin{split} Z_{\lambda_g}&=\left.Z_0 \frac{Z_L+jZ_0tan(\beta l)}{Z_0+jZ_Ltan(\beta l)}\right|_{l=\lambda_g/4,\beta=2\pi/\lambda_g}\\ &=\frac{Z_0^2}{Z_L} \end{split} \end{equation}

이다. 여기서 ZL=100Z_L=100이고, 임피던스 정합이 이루어졌으니

Zλg=Z02100=49⇒Z02=100⋅49⇒Z0=70\begin{gather} Z_{\lambda_g}=\frac{Z_0^2}{100}=49\\ \Rightarrow Z_0^2=100\cdot 49\\ \Rightarrow Z_0=70 \end{gather}

이다.

Z0=LCZ_0=\sqrt{\frac{L}{C}}

이므로

C=LZ02=19.6⋅10−64900\begin{equation} \begin{split} C&=\frac{L}{Z_0^2}\\ &=\frac{19.6\cdot 10^{-6}}{4900} \end{split} \end{equation}

이다. 이로부터 전파 속도를 계산하면

v=1LC=7019.6⋅10−6=1028⋅10−7\begin{equation} \begin{split} v&=\frac{1}{\sqrt{LC}}\\ &=\frac{70}{19.6\cdot 10^{-6}}\\ &=\frac{10}{28\cdot 10^{-7}} \end{split} \end{equation}

이므로

λg=vf=1028⋅10−7⋅1108=128\begin{equation} \begin{split} \lambda_g&=\frac{v}{f}\\ &=\frac{10}{28\cdot 10^{-7}}\cdot \frac{1}{10^{8}}\\ &=\frac{1}{28} \end{split} \end{equation}

이다. 따라서

l=λg4=14⋅28=14784\begin{equation} \begin{split} l&=\frac{\lambda_g}{4}\\ &=\frac{1}{4\cdot28}\\ &=\frac{1}{4\sqrt{784}} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 1번이다.

19번

  1. T⃗=m⃗×B⃗⇒T=mBsinθ=NIABsinθ\begin{gather} \vec{T}=\vec{m}\times \vec{B} \\ \begin{equation} \begin{split} \Rightarrow T&=mBsin\theta\\ &=NIABsin\theta \end{split} \end{equation} \end{gather}
    에서 θ=0\theta=0이면 토크는 생기지 않는다.
  2. 위 식에서
    B=TNIAsinθB=\frac{T}{NIAsin\theta}
    이다.

그리고 토크의 방향은 m⃗\vec{m}과 B⃗\vec{B}에 수직이다. 따라서 2번이 옳다.

20번

  1. 전반사가 발생하기 위해서는 1에서의 굴절률이 2에서보다 커야 한다. 그래야 2로 들어가려는 빛이 더 느린 쪽인 1 쪽으로 휘어서 전반사가 일어날 수 있다. 그리고 굴절률 nn은 ε\sqrt{\varepsilon}에 비례하므로
    ε1>ε2\varepsilon_1 \gt \varepsilon_2
    여야 한다.
  2. 그렇다.
  3. 그렇다. 입사하는 방향을 +로 생각하면 반사하는 값은 -가 곱해진 것으로 생각할 수 있으므로, 반사하는 값의 절댓값을 구하려면 -를 곱해야 한다. 그러면 1=(입사)=(투과)+|(반사)|가 된다.
  4. 브루스터 각도는 특정 편파에는 없을 수 있다.

따라서 답은 4번이다.