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2020 7급 국가직 통신이론

1번

전체 확률은 11이 되어야 하므로

6⋅a=1⇒a=166\cdot a=1\Rightarrow a=\frac{1}{6}

이다.

분산은 평균이 어디에 위치하건 평균으로부터 흩어진 정도와만 상관있으므로 이 확률분포를 [−3,3][-3,3]으로 옮겨서 계산의 편의를 도모하자. 이 떄 분산을 구해보면

σ2=∫−33x2⋅16dx=x33∣−33⋅16=186=3\begin{equation} \begin{split} \sigma^2&=\int_{-3}^{3}x^2\cdot \frac{1}{6}dx\\ &=\frac{x^3}{3}\left|_{-3}^{3}\right.\cdot \frac{1}{6}\\ &=\frac{18}{6}\\ &=3 \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 답은 4번이다.

2번

오일러 공식

ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)e^{j\omega t}=cos(\omega t)+jsin(\omega t)

에서

sin(ω0t)=12j(ejω0t−e−jω0t)sin(\omega_0 t)=\frac{1}{2j}\left(e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}\right)

이다. 따라서 주어진 x(t)x(t)를 복소 푸리에 급수로 나타내면

X−1=−1j,X1=1j=−jX_{-1}=-\frac{1}{j},X_1=\frac{1}{j}=-j

이므로 답은 3번이다.

3번

  1. PSK는 위상에 정보를 싣는데, 위상은 타이밍이 중요하다. 즉 동기식 검파만 가능하다.
  2. 비동기식 복조는 반송파 위상정보와 동기화하지 않고 복조하는 방식이다.
  3. 동기식 복조 방식은 비동기식 복조 방식 대비 더 정확하게 복조할 것이 당연하다.
  4. 정합 필터는 정확히 한 심볼 시간이 지난 후의 필터 값을 이용해서 복조하는 것으로, 타이밍이 중요하다.

따라서 답은 1번 이다.

4번

위상은

10−3cos(100πt)10^{-3}cos(100\pi t)

이므로 이의 최댓값은

10−3=0.00110^{-3}=0.001

이고 답은 4번이다.

5번

  1. 지연확산이 심볼 구간에 비해 더 커지면 지연된 앞의 심볼이 다음 심볼 구간을 침범해서 ISI가 더 발생하여 수신 오류 확률이 커진다.
  2. 지연확산이 심볼 구간에 비해 크면 주파수 선택적 페이딩이 일어난다.
  3. OFDM을 이용해서 부반송파의 개수를 늘릴수록 동일한 전송률을 위해서 필요한 심볼 구간이 길어지니 지연확산에 의한 영향을 줄일 수 있다.
  4. OFDM에서는 지연확산에 의한 영향을 줄이기 위해 보호구간을 두는데 여기를 순환확장(CP; Cyclic Prefix)으로 채운다.

따라서 답은 2번이다.

6번

  1. 엔트로피는 정보원의 심볼 출력당 평균 정보량으로 정의된다.

  2. 정보량을 비트로 표현할 떄 자기 정보는

    I(xi)=−log2piI(x_i)=-log_2 {p_i}

    이다.

  3. 집합에 속하는 심볼들의 발생 확률이 모두 같으면 어느 게 더 나오고 덜 나온다는 게 없이 가장 불확실하므로 엔트로피는 최대가 된다.

  4. 3번에서 발생 확률이 모두 같을 떄 엔트로피가 최대임을 설명했으니, 이진 정보원의 각 심볼 발생 확률이 1/2로 동일하다고 해 보자. 그럼 엔트로피는

    H(X)=−∑_xP[X=x]log2P[X=x]=−2⋅12log212=log22=1\begin{equation} \begin{split} H(X)&=-\sum\_{x}P[X=x]log_2{P[X=x]}\\ &=-2\cdot\frac{1}{2}log_2\frac{1}{2}\\ &=log_2{2}\\ &=1 \end{split} \end{equation}

    이므로 최댓값은 1이고, 서로 다른 발생 확률을 가진다면 이 11보다는 작을 수밖에 없다.

따라서 답은 4번이다.

7번

64-QAM을 쓰므로 한 심볼당

log264=6 blog_2{64}=6 \text{ b}

가 실린다. 다음으로 컨볼루션 부호의 부호화율이 1/2이므로 계산된 값을 최종적으로 반으로 나눠야 한다.

한편, 채널 대역폭이 1010 MHz인데 이 값은 2Rs2R_s에 해당하므로

Rs=5 Msymbols/sR_s=5 \text{ Msymbols/s}

이다. 따라서 최대 데이터 비트들은 이들을 다 곱한 값인

6⋅12⋅5⋅106=15 Mbps6\cdot \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10^6=15 \text{ Mbps}

이므로 답은 3번이다.

8번

16-PAM 방식이므로 심볼당 비트 수는

log216=4log_2{16}=4

비트이다. 따라서 심볼율은

104=2.5 Msymbols/s\frac{10}{4}=2.5 \text{ Msymbols/s}

이다. 기저대역을 사용하므로 나이퀴스트 최소 대역폭은 이 심볼률의 절반인

BW=1.25 MHzBW=1.25 \text{ MHz}

이고 답은 4번이다.

나이퀴스트 최소 대역폭의 의미를 생각해보자. 이 대역폭에 대한 나이퀴스트 샘플률(=대역폭의 2배)이 바로 심볼률인 것이다.

9번

  1. BIBO 특성이라 함은 유한한 크기의 입력에 대해 유한한 크기의 출력을 내놓는 시스템을 말한다. ∣x(t)∣<B|x(t)|<B일 때 출력의 크기는

    ∣y(t)∣=∣∫−∞∞h(τ)x(t−τ)dτ∣≦∫−∞∞∣h(τ)x(t−τ)∣dτ=∫−∞∞∣h(τ)∣∣x(t−τ)∣dτ≦B∫−∞∞∣h(τ)∣dτ\begin{equation} \begin{split} |y(t)|&=\left|\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau\right|\\ &\leqq \int_{-\infty}^{\infty}\left|h(\tau)x(t-\tau)\right|d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\left|h(\tau)\right|\left|x(t-\tau)\right|d\tau\\ &\leqq B\int_{-\infty}^{\infty}\left|h(\tau)\right|d\tau \end{split} \end{equation}

    이다. 따라서

    ∫−∞∞∣h(τ)∣dτ<∞\int_{-\infty}^{\infty}\left|h(\tau)\right|d\tau\lt\infty

    이면 출력도 유한하며, 또 그럴 때에만 출력이 유한하다. 주어진 h(t)h(t)는

    ∫−∞∞∣h(τ)∣dτ=2\int_{-\infty}^{\infty}\left|h(\tau)\right|d\tau=2

    이므로 BIBO 특성이 있다.

  2. 출력은

    y(t)=∫−∞∞h(t−τ)x(τ)dτy(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)x(\tau)d\tau

    인데, τ>t\tau>t 즉 t−τ<0t-\tau\lt0인 τ\tau에서의 입력값이 출력에 영향을 준다면 이는 미래의 정보가 현재에 영향을 준다는 뜻이 된다. 따라서 인과성이 있기 위해서는 t<0t\lt0에 대해 h(t)=0h(t)=0이어야 하며, 또 그럴 경우 반드시 인과성이 있다. 그러니 주어진 시스템은 이를 만족하지 않으므로 인과성이 있는 시스템이 아니다.

  3. rect 함수를 푸리에 변환하면 sinc 함수가 되어서 무한히 넓은 대역폭을 갖게 되고 주파수별로 일정한 값을 갖지도 않는다.

  4. 원래 rect 함수는 푸리에 변환하면 실수이지만, 11만큼의 시간 이동이 있으므로

    0+j2πf=j2πf0+j2\pi f=j2\pi f

    의 위상 응답을 갖게 되므로 상수가 아니다.

따라서 옳은 것은 1번이다.

10번

  1. BFSK 방식의 성상도 상 심볼 사이각이 π/2\pi/2이고 BPSK 방식의 성상도 상 심볼 사이각은 π\pi이므로 동일 조건에서 BPSK 방식의 거리가 2\sqrt{2}배이다. 따라서 오류 성능이 BPSK가 더 좋기 때문에 BFSK 방식은 동일한 오류 확률 성능을 위해서는 더 많은 에너지가 필요하다.
  2. QPSK는 심볼당 22비트, BPSK는 심볼당 11비트를 싣기 때문에 QPSK 방식의 비트 전송률은 BPSK 방식의 2배이다.
  3. QPSK의 인접 심볼 사이각은 π/2\pi/2이고 BPSK의 인접 심볼 사이각은 π\pi이기 때문에 QPSK는 BPSK의 2\sqrt{2}배의 비트당 에너지를 써야 동일한 거리가 나온다.
  4. BPSK는 심볼당 11비트, QPSK는 심볼당 22비트를 전송하므로 QPSK의 대역폭 효율이 2배이다. BFSK의 대역폭은 주어져 있지 않으므로 비교가 불가능하다. 비트당 에너지 조건은 여기서는 별 의미 없는 조건이다.

따라서 1번이 옳다.

11번

섀넌 채널 용량은

C=Wlog2(1+SNR)C=W log_2{(1+SNR)}

이다. 주어진 조건에서

C=10×106,N=5×10−6,S=15×10−6C=10\times 10^6, N=5\times 10^{-6}, S=15\times 10^{-6}

을 대입하여 WW에 대해서 풀면

107=Wlog2(1+3)=Wlog24=2W10^7=W log_2{(1+3)}=W log_2 4=2W

이므로

W=5W=5

이고 답은 3번이다.

12번

  1. 반송파가 없으므로 포락선 검파는 불가능하다.
  2. m(t)m(t)가 00을 지나면 s(t)s(t)는 부호가 바뀐다.
  3. 코사인이 2번 곱해졌으므로
    fracAmAc4frac{A_mA_c}{4}
    이다.
  4. 반송파는 없으므로 00이다.

따라서 2번이 옳다.

13번

  1. AWGN의 전력 스펙트럼 밀도는 주파수에 상관없이 일정하다.
  2. 옳다.
  3. 이상적인 저역 통과 필터는 rect 함수의 주파수 응답을 가지므로 제곱해도 여전히 rect 형태를 갖는다. 그리고 이 제곱된 rect 함수를 역변환하면 sinc 함수가 된다. 한편 백색 잡음의 자기 상관 함수는 2번에서
    Rτ=N02δ(τ)R{\tau}=\frac{N_0}{2}\delta(\tau)
    이므로 위의 sinc와 콘볼루션한 것이 필터 출력의 자기 상관 함수인데, 델타 함수와의 콘볼루션이므로 출력은 sinc 함수 형태로 나타난다.
  4. 옳다.

따라서 1번이 옳지 않다.

14번

  1. ICIC 현황: LTE 기반에서 용량 증대를 위한 셀간 간섭 조정이란 글에 따르면 OFDMA는 주파수 재사용에 의해 서로 다른 기지국에서 발신한 신호들이 같은 부반송파에 실려서 생기는 인접 셀 간의 간섭에 의해 성능이 크게 떨어지므로 셀 간 간섭조정 절차가 필요하다고 한다. CDMA 방식은 간섭이 오더라도 코드가 다르면 간섭 신호 크기가 작아지기 때문에 영향이 더 적은 모양이다.
  2. OFDMA 방식은 CDMA에 비해 상대적으로 높은 PAPR을 갖는다. CDMA는 균일한 전력을 쓰지만 OFDMA는 각 부반송파의 위상이 같아지면 순간적으로 전력이 커질 수 있기 때문이다.
  3. OFDMA에서는 채널 상태가 나쁘면 전력을 더 쓰고, 채널 상태가 좋으면 덜 쓰는 등의 적응적 할당을 통해서 처리율을 올릴 수 있다. CDMA는 원근 문제 때문에 다 똑같은 전력을 써야 할 것이다.
  4. 직교 부호를 사용하는 것은 CDMA이다.

따라서 답은 1번 이다.

15번

  1. 옳다.
  2. Eb/N0E_b/N_0가 너무 낮을 경우, 한 비트에 에너지를 더 싣는 것이 그 에너지를 나눠서 잉여 비트에 실어서 채널 부호화를 하는 것보다 나을 수 있다. 어차피 잉여 비트들도 다 깨질 것이니 별 의미가 없기 때문이다.
  3. 옳다.
  4. 구속장 길이가 길다는 뜻은 메시지가 더 많이 흩어져서 부호화된다는 뜻이므로, 일부가 깨져도 복구될 가능성이 더 높아지지만 당연히 더 복잡할 것이다.

따라서 2번이 옳지 않다.

16번

  1. 부호어가 55비트이고 정보어가 22비트이므로 부호율은 25\frac{2}{5}이다.
  2. 첫 번째 심볼과 두 번째 심볼만 비교해봐도 해밍 거리는 33이다.
  3. 3/2=1.53/2=1.5이므로 이 1.51.5를 반지름으로 갖는 구 안에서는 복구가 가능하다. 즉 11비트는 오류 정정이 가능하다.
  4. 최소 해밍 거리가 33이므로 반지름이 33인 구 안(표면은 포함하지 않음)의 오류를 검출할 수 있다.

따라서 2번이 옳지 않다.

17번

편이율은 최대 주파수 편이 대비 메시지 대역폭이므로

β=4×103/103=4\beta=4\times 10^3 / 10^3=4

이다. 주파수 변조 대역폭은 카슨의 법칙을 이용하면

B_FM=2fm(1+β)=2×1000×(1+4)=10B\_{FM}=2f_m(1+\beta)=2\times 1000\times (1+4)=10

이므로 답은 4번이다.

18번

x(t)x(t)의 대역폭은

1002=50\frac{100}{2}=50

이다. 따라서 최소한 100100 Hz로 샘플링을 해야 하고, 샘플링 주기의 최댓값은 이의 역수인

Ts=0.01T_s=0.01

이므로 답은 2번이다.

19번

최대 심볼 전송률을 fsf_s라 하자. 롤오프 인수가 0.250.25인이 상승 코사인 필터가 쓰는 대역폭이 11 MHz이므로 식을 세우면

(1+0.25)fs=1⋅106⇒fS=8⋅105=800,000\begin{gather} (1+0.25)f_s=1\cdot 10^6\\ \Rightarrow f_S=8 \cdot 10^5=800,000 \end{gather}

이므로 답은 2번이다.

20번

  1. 분산은 중심으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 제곱해서 나타내는 2차 중심 모멘트가 맞다.
  2. X,YX,Y가 서로 독립이라면 결합 PDF가 각각의 PDF의 곱으로 분해되므로 평균 또한 분해된다.
  3. 옳다. 만약 평균이 00이 아니라면 라이시안 확률 분포를 따른다.
  4. 독립이면 상관 계수가 00이지만 그 역이 항상 성립하지는 않는다. (단 가우시안일 경우에는 역도 성립한다.)

따라서 답은 4번이다.