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2018 7급 국가직 전기자기학

1번

정전기장은 회전하지 않으므로 보존장을 생성한다. 따라서 4번이 옳지 않다.

2번

V=LdIdt=20×10−35−30.1=0.4\begin{equation} \begin{split} V&=L\frac{dI}{dt}\\ &=20\times 10^{-3}\frac{5-3}{0.1}\\ &=0.4 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

3번

r>ar\gt a이면 1r\frac{1}{r}과 같은 개형의 그래프이다. 다음으로 r<ar\lt a일 때에 대해 생각해보자. 전류밀도가 균일하다고 하면 전류가 통과하는 면적은 πr2\pi r^2이고, 자기장은 반지름에 반비례하므로 r2r=r\frac{r^2}{r}=r과 같은 개형의 그래프가 나온다. 따라서 답은 4번이다.

4번

스피커 쪽에 가해지는 전압 비율은 N:1N:1이다. 에너지 보존 법칙에 의해서 전류는 1:N1:N의 비율이 된다. 따라서 보이는 임피던스는 전압 비율을 전류 비율로 나눈 것이므로

N:1N=N2:1N:\frac{1}{N}=N^2:1

이 되고 입력 쪽에 N2N^2배 된 임피던스가 보인다. 따라서

8×N2=512⇒N=8\begin{gather} 8\times N^2=512 \\ \Rightarrow N=8 \end{gather}

이므로 권선수 비는 8:18:1이고 답은 1번이다.

5번

전기쌍극자모멘트에 의한 전위는

V=p4πϵ0r2V=\frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^2}

이다. 첫 번째 전기쌍극자모멘트에 의한 전위는 방향을 고려하면

V1=34πϵ0⋅1V_1=\frac{3}{4\pi\epsilon_0 \cdot 1}

이다. 두 번째 전기쌍극자모멘트에 의한 전위는 방향을 고려하면

V2=−64πϵ0⋅9=−16π\begin{equation} \begin{split} V_2&=-\frac{6}{4\pi\epsilon_0 \cdot 9}\\ &=-\frac{1}{6\pi} \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 둘의 합은

V=V1+V2=27−636πϵ0=2136πϵ0\begin{equation} \begin{split} V&=V_1+V_2\\ &=\frac{27-6}{36\pi\epsilon_0}\\ &=\frac{21}{36\pi\epsilon_0} \end{split} \end{equation}

이고, 주어진 ϵ0\epsilon_0을 대입하면 2121이 나오므로 답은 3번이다.

6번

대칭성에 의해 자기장은

B⃗=μ0I2πρaϕ⃗\vec{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi \rho}\vec{a_\phi}

이고 자기력은

F⃗=q(v⃗×B⃗)\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})

이다. 대입해서 구하면 y=2,z=0y=2,z=0에서의 자기장은

B⃗=1⋅4π×10−72π⋅2az⃗\vec{B}=\frac{1\cdot 4\pi\times 10^{-7}}{2\pi \cdot 2}\vec{a_z}

이므로

F⃗=10(100ax⃗×4π×10−74πaz⃗)=103(az⃗10−7)=10−4az⃗\begin{equation} \begin{split} \vec{F}&=10(100\vec{a_x}\times \frac{4\pi\times 10^{-7}}{4\pi}\vec{a_z})\\ &=10^3(\vec{a_z}10^{-7})\\ &=10^{-4}\vec{a_z} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

7번

유도 기전력은

emf=−dΦdt=−4⋅2tdt=−8\begin{equation} \begin{split} emf&=-\frac{d\Phi}{dt}\\ &=-\frac{4\cdot 2t}{dt}\\ &=-8 \end{split} \end{equation}

이다. 다음으로 이 기전력이 R1R_1과 R2R_2에 분배되므로

∣V1∣=8⋅1010+6=5\begin{equation} \begin{split} |V_1|&=8\cdot\frac{10}{10+6}\\ &=5 \end{split} \end{equation}

이고

∣V2∣=8⋅610+6=3\begin{equation} \begin{split} |V_2|&=8\cdot\frac{6}{10+6}\\ &=3 \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 답은 4번이다.

8번

입력 임피던스는

Zin=Z0ZL+jZ0tan(βl)Z0+jZLtan(βl)Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0tan(\beta l)}{Z_0+jZ_Ltan(\beta l)}

이다. 그리고

β=ωμϵ=2π⋅109⋅4×13×108=403π\begin{equation} \begin{split} \beta&=\omega \sqrt{\mu\epsilon}\\ &=2\pi\cdot 10^9\cdot \frac{\sqrt{4\times 1}}{3\times 10^8}\\ &=\frac{40}{3}\pi \end{split} \end{equation}

이다. 이 값과 주어진 조건들을 대입하면

Zin=5050+j50+j50tanπ450+j(50+j50)tanπ4=5050+j50+j5050+j50−50=5050+j100j50=100−j50\begin{equation} \begin{split} Z_{in}&=50\frac{50+j50+j50tan\frac{\pi}{4}}{50+j(50+j50)tan\frac{\pi}{4}}\\ &=50\frac{50+j50+j50}{50+j50-50}\\ &=50\frac{50+j100}{j50}\\ &=100-j50 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

9번

자유전하밀도는 D⃗\vec{D}의 발산인 것처럼 분극 체적전하밀도는 P⃗\vec{P}의 발산과 관련이 있다. 한편,

D⃗=ϵ0ϵrE⃗=ϵ0E⃗−P⃗\begin{equation} \begin{split} \vec{D}&=\epsilon_0\epsilon_r\vec{E}\\ &=\epsilon_0\vec{E}-\vec{P} \end{split} \end{equation}

이다. 이 식의 의미는 분극에 의해 자유전하들이 만들어내는 전기력선이 감소하므로 이를 보상해야 자유전하들이 만들어내는 전기력선의 밀도가 된다는 것이다. 따라서

P⃗=(ϵ0−ϵ0ϵr)E⃗\vec{P}=(\epsilon_0-\epsilon_0\epsilon_r)\vec{E}

이다. 한편 ϵr=3\epsilon_r=3이므로 대입하면

P⃗=−2ϵ0E⃗=200zϵ0az⃗\begin{equation} \begin{split} \vec{P}&=-2\epsilon_0\vec{E}\\ &=200z\epsilon_0\vec{a_z} \end{split} \end{equation}

인데, 이의 발산은 zz로 미분한 200ϵ0200\epsilon_0이므로 답은 2번이다.

10번

  1. 자기저항을 이용한 풀이

    자기저항은

    ℜ=lμ=8×10−2⋅2π1000×4π×10−7×πtimes(10−2)2=16πtimes10−24π2×10−8=4×106π\begin{equation} \begin{split} \Re&=\frac{l}{\mu}\\ &=\frac{8\times 10^{-2}\cdot 2\pi}{1000\times 4\pi \times 10^{-7}\times \pi times (10^{-2})^2}\\ &=\frac{16\pi times 10^{-2}}{4\pi^2\times 10^{-8}}\\ &=\frac{4\times 10^6}{\pi} \end{split} \end{equation}

    이다. 따라서

    Φ=NIℜ=100Iπ4×106=0.4×10−3⇒I=16π\begin{equation} \begin{split} \Phi&=\frac{NI}{\Re}\\ &=\frac{100I\pi}{4\times 10^6}\\ &=0.4\times 10^{-3}\\ \Rightarrow I&=\frac{16}{\pi} \end{split} \end{equation}

    이다.

  2. 자계세기를 이용한 풀이

    대칭성에 의해 H⃗\vec{H}는 aϕ⃗\vec{a_\phi}방향이고 크기는 균일하다. 따라서

    ∮H⃗⋅dl⃗=NI⇒H⋅2πρ=NI⇒H=100I2π⋅8×10−2\begin{gather} \oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=NI\\ \Rightarrow H\cdot 2\pi \rho=NI\\ \Rightarrow H=\frac{100I}{2\pi\cdot 8\times 10^{-2}} \end{gather}

    이다. 여기에 투자율과 단면적을 곱하면 자속이 나오므로

    Φ=0.4×10−3=104I⋅4π×10−4⋅π⋅10−416π⇒I=16π\begin{equation} \begin{split} \Phi&=0.4\times 10^{-3}\\ &=\frac{10^4I\cdot 4\pi \times 10^{-4}\cdot \pi\cdot 10^{-4}}{16\pi}\\ \Rightarrow I&=\frac{16}{\pi} \end{split} \end{equation}

    이다.

따라서 답은 1번이다.

11번

표피두께는

δ=1πfμσ\delta=\frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}

이다.

  1. 관련있다.
  2. 투자율이 클수록 표피두께는 감소한다.
  3. 도전율이 클수록 표피두께는 감소한다.
  4. 주파수가 높을수록 표피두꼐는 감소한다.

따라서 3번이 옳다.

12번

변위전류는

∂D⃗∂t\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}

이므로 전속밀도의 시간적 변화가 변위전류이다. 그러므로 답은 3번이다.

13번

도체구의 커패시턴스를 구해 보자. QQ가 충전되었을 때, 이 QQ에 의한 전위는

V=Q4πϵ(1a−1b)V=\frac{Q}{4\pi\epsilon}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)

이다. 따라서 커패시턴스는

C=QV=4πϵ1a−1b\begin{equation} \begin{split} C&=\frac{Q}{V}\\ &=\frac{4\pi\epsilon}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}} \end{split} \end{equation}

이므로 내,외구 반지름을 각각 33배로 하면 분자에 33이 곱해지는 효과이므로 커패시턴스는 33배가 된다. 따라서 1번이 답이다.

14번

상호 인덕턴스는

M=LALBM=\sqrt{L_AL_B}

이다.

25=LA⋅2525=L_A\cdot 25

이므로

LA=1L_A=1

이다. 그리고

50=M⋅2550=M\cdot 25

이므로

M=2M=2

이다. 따라서

LB=4L_B=4

이므로 답은 4번이다.

15번

공진회로의 발진 주파수는

f=12πLC=12π10−16=1082π\begin{equation} \begin{split} f&=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\\ &=\frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-16}}}\\ &=\frac{10^8}{2\pi} \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 파장은

λ=cf=3×2π=6π\begin{equation} \begin{split} \lambda&=\frac{c}{f}\\ &=3\times 2\pi\\ &=6\pi \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

16번

  1. ω=β⋅v\omega=\beta \cdot v
    이므로
    v=3×1083=3×108\begin{equation} \begin{split} v&=\frac{3\times 10^8}{\sqrt{3}}\\ &=\sqrt{3}\times 10^8 \end{split} \end{equation}
    이다. 또한
    v=cμrϵr=3×108ϵr1\begin{equation} \begin{split} v&=\frac{c}{\sqrt{\mu_r\epsilon_r}}\\ &=\frac{3\times 10^8}{\sqrt{\epsilon_{r1}}} \end{split} \end{equation}
    이므로
    ϵr1=3\epsilon_{r1}=3
    이다.
  2. 경계면에 평행한 HH 성분은 같아야 하므로 경계면에 평행한 BB성분의 편파도 같을 것이다. 따라서 +ay⃗+\vec{a_y}방향이다.
  3. 브루스터각은
    θ=tan−1(ϵ2ϵ1)=tan−1(3)=60∘\begin{equation} \begin{split} \theta&=tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}}\right)\\ &=tan^{-1}(\sqrt{3})\\ &=60^\circ \end{split} \end{equation}
    이다.
  4. 전반사가 일어나려면 2 쪽의 속도가 더 빨라야 하는데 비유전율은 2 쪽이 더 크므로 2 쪽이 속도가 더 느려서 전반사는 일어날 수 없다.

따라서 4번이 옳지 않다.

17번

라플라스 방정식은

∇2V=−ρϵ0=∇⋅(4xax⃗+4yay⃗)=4+4=8\begin{equation} \begin{split} \nabla^2 V&=-\frac{\rho}{\epsilon_0}\\ &=\nabla\cdot (4x\vec{a_x}+4y\vec{a_y})\\ &=4+4\\ &=8 \end{split} \end{equation}

이다. 따라서

ρ=−8ϵ0\rho=-8\epsilon_0

이므로 답은 2번이다.

18번

호수의 임피던스는

ηl=μϵ=η081=η09\begin{equation} \begin{split} \eta_l&=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\\ &=\frac{\eta_0}{\sqrt{81}}\\ &=\frac{\eta_0}{9} \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 반사계수의 크기는

∣Γ∣=∣ZL−Z0ZL+Z0∣=∣19−119+1∣=∣1−91+9∣=0.8\begin{equation} \begin{split} |\Gamma|&=\left|\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}\right|\\ &=\left|\frac{\frac{1}{9}-1}{\frac{1}{9}+1}\right|\\ &=\left|\frac{1-9}{1+9}\right|\\ &=0.8 \end{split} \end{equation}

이다. 투과계수는 입사 비율 11에서 반사 비율인 반사계수의 크기를 뺀 값이므로

τ=1−∣Γ∣=1−0.8=0.2\begin{equation} \begin{split} \tau&=1-|\Gamma|\\ &=1-0.8\\ &=0.2 \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 답은 1번이다.

19번

자기 에너지는

W=∭12BHdv=∭12μH2dv\begin{equation} \begin{split} W&=\iiint \frac{1}{2}BH dv\\ &=\iiint \frac{1}{2} \mu H^2dv \end{split} \end{equation}

이다. 대칭성을 이용하면

∮H⃗⋅dl⃗=NI⇒H⋅2πr=NI⇒H⋅2π80×10−2π2π=2000⋅2⇒H=5000π\begin{gather} \oint \vec{H}\cdot d\vec{l}=NI\\ \Rightarrow H\cdot 2\pi r=NI\\ \Rightarrow H\cdot 2\pi \frac{80\times 10^{-2}\pi}{2\pi}=2000\cdot 2\\ \Rightarrow H=\frac{5000}{\pi} \end{gather}

이다. 대입해서 계산하면

W=∭121000⋅4π×10−7⋅25×106π2dv=∭12104πdv=5×103π⋅80π×10−2⋅4×10−4=1.6\begin{equation} \begin{split} W&=\iiint \frac{1}{2} 1000\cdot 4\pi\times 10^{-7}\cdot \frac{25\times 10^6}{\pi^2} dv\\ &=\iiint \frac{1}{2} \frac{10^4}{\pi} dv\\ &=\frac{5\times 10^3}{\pi}\cdot 80\pi\times 10^{-2}\cdot 4\times 10^{-4}\\ &=1.6 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 3번이다.

20번

B=μH=2000⋅4π×10−7H=4π\begin{equation} \begin{split} B&=\mu H=2000\cdot 4\pi\times 10^{-7}H\\ &=4\pi \end{split} \end{equation}

이므로

H=1072000H=\frac{10^7}{2000}

이다. 한편

M=Bμ0−H=(μμ0−1)H\begin{equation} \begin{split} M&=\frac{B}{\mu_0}-H\\ &=\left(\frac{\mu}{\mu_0}-1\right)H \end{split} \end{equation}

이므로

M=1999⋅1072000M=\frac{1999\cdot 10^7}{2000}

이다. MM은 단위체적당 자기쌍극자 모멘트이므로 원자 하나의 자기쌍극자 모멘트를 구하려면 원자 하나의 체적인 119.99×1028\frac{1}{19.99\times 10^{28}}을 곱해야 한다. 계산하면

1999⋅1072000⋅119.99×1028=120×1021=10−2120\begin{equation} \begin{split} \frac{1999\cdot 10^7}{2000} \cdot \frac{1}{19.99\times 10^{28}}&=\frac{1}{20\times 10^{21}}\\ &=\frac{10^{-21}}{20} \end{split} \end{equation}

이므로 1번이 답이다.