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2018 7급 국가직 통신이론

1번

FM신호를 복조했을 때의 SNR은

SNRFM,O=3A2kf2P2N0W3SNR_{FM,O}=\frac{3A^2k^2_fP}{2N_0W^3}

이다.

  1. 변조 지수 β\beta가 클수록 더 넓은 대역폭 WW를 쓰므로 성능이 좋아진다.
  2. 메시지 신호의 진폭 AA가 클수록 변조가 많이 되므로 성능이 좋아진다.
  3. 초기 위상은 SNR 계산에서 아무 역할도 하지 않는다.
  4. 메시지 신호의 주파수가 클수록 대역폭 WW을 많이 쓰므로 SNR이 좋아진다.

그러므로 3번이 답이다.

2번

전체 확률이 11이어야 한다. 따라서

∫−∞∞fX(x)dx=∫−11c(1−x2)dx=2c−2c⋅13=1\begin{equation} \begin{split} \int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)dx&=\int_{-1}^{1}c(1-x^2)dx\\ &=2c-2c\cdot \frac{1}{3}\\ &=1 \end{split} \end{equation}

이므로

c=34c=\frac{3}{4}

이고 답은 1번이다.

3번

엔트로피의 최댓값은 가장 불확실할 때, 즉 확률의 치우침이 없이 모두 같을 때이다. 이 때는 확률이 모두 14\frac{1}{4}일 때이므로, 엔트로피를 구하면

H=−log2(14)=2H=-log_2\left(\frac{1}{4}\right)=2

이므로 답은 3번이다.

4번

주어진 신호를 오일러 공식을 사용하여 전개하면

4⋅12j(ejω0t−e−jω0t)+8⋅12(ejω0t+e−jω0t)=−2jejω0t+2je−jω0t+4ejω0t+4e−jω0t=(4−j2)ejω0t+(4+j2)e−jω0t\begin{equation} \begin{split} 4\cdot \frac{1}{2j}\left(e^{j\omega_0 t}-e^{-j \omega_0 t}\right)+8\cdot\frac{1}{2}\left(e^{j\omega_0 t}+e^{-j\omega_0 t}\right)&=-2je^{j\omega_0t}+2je^{-j\omega_0t}+4e^{j\omega_0t}+4e^{-j\omega_0t}\\ &=(4-j2)e^{j\omega_0t}+(4+j2)e^{-j\omega_0t} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

5번

s1(t)=cos(2π(f0+f1)t)s2(t)=cos(2π(f0+f2)t+ϕ)\begin{gather} s_1(t)=cos(2\pi(f_0+f_1)t)\\ s_2(t)=cos(2\pi(f_0+f_2)t+\phi) \end{gather}

라 하자. 둘이 직교하려면

∫0Tscos(2π(f0+f1)t)cos(2π(f0+f2)t+ϕ)dt=∫0Ts12(cos(2π(f0+f1+f0+f2)t+ϕ)+cos(2π(f0+f1−f0−f1)t−ϕ))dt\int_0^{T_s}cos(2\pi(f_0+f_1)t)cos(2\pi(f_0+f_2)t+\phi)dt=\int_0^{T_s}\frac{1}{2}(cos(2\pi(f_0+f_1+f_0+f_2)t+\phi)+cos(2\pi(f_0+f_1-f_0-f_1)t-\phi))dt

이다. f1−f2f_1-f_2와 관련된 항은 두 번째 항이므로

∫0Tscos(2π(f0+f1−f0−f2)t−ϕ)dt=∫0Tscos(2π(f1−f2)t−ϕ)dt=sin(2π(f1−f2)t−ϕ)∣0Ts=sin(2π(f1−f2)Ts−ϕ)−sin(−ϕ)=0\begin{equation} \begin{split} \int_0^{T_s}cos(2\pi(f_0+f_1-f_0-f_2)t-\phi)dt&=\int_0^{T_s}cos(2\pi(f_1-f_2)t-\phi)dt\\ &=\left.sin(2\pi(f_1-f_2)t-\phi)\right|_0^{T_s}\\ &=sin(2\pi(f_1-f_2)T_s-\phi)-sin(-\phi)\\ &=0 \end{split} \end{equation}

이어야 한다. 그러므로

sin(2π(f1−f2)Ts−ϕ)=−sin(ϕ)⇒sin(2π(f1−f2)Ts)cos(ϕ)−cos(2π(f1−f2)Ts)sin(ϕ)=−sin(ϕ)⇒cos(2π(f1−f2)Ts)=1\begin{gather} sin(2\pi(f_1-f_2)T_s-\phi)=-sin(\phi)\\ \Rightarrow sin(2\pi(f_1-f_2)T_s)cos(\phi)-cos(2\pi(f_1-f_2)T_s)sin(\phi)=-sin(\phi)\\ \Rightarrow cos(2\pi(f_1-f_2)T_s)=1 \end{gather}

및

sin(2π(f1−f2)Ts)=0sin(2\pi(f_1-f_2)T_s)=0

일 때 최소이므로

2π(f1−f2)Ts=2mπ2\pi(f_1-f_2)T_s=2m\pi

어야 한다. 따라서

f1−f2=1Tsf_1-f_2=\frac{1}{T_s}

일 때 최소이므로 답은 3번이다.

6번

  1. Cov[X,Y]=E[(X−X‾)(Y−Y‾)]=E[XY−X‾Y−XY‾+X‾⋅Y‾]=E[XY]−2X‾⋅Y‾+X‾⋅Y‾=E[XY]−X‾⋅Y‾\begin{equation} \begin{split} Cov[X,Y]&=E[(X-\overline{X})(Y-\overline{Y})]\\ &=E[XY-\overline{X}Y-X\overline{Y}+\overline{X}\cdot\overline{Y}]\\ &=E[XY]-2\overline{X}\cdot\overline{Y}+\overline{X}\cdot \overline{Y}\\ &=E[XY]-\overline{X}\cdot\overline{Y} \end{split} \end{equation}
    이므로 00이 아니다.
  2. 독립이면
    E[XY]=E[X]E[Y]E[XY]=E[X]E[Y]
    이므로
    Cov[X,Y]=E[XY]−E[X]E[Y]=E[X]E[Y]−E[X]E[Y]=0\begin{equation} \begin{split} Cov[X,Y]&=E[XY]-E[X]E[Y]\\ &=E[X]E[Y]-E[X]E[Y]\\ &=0 \end{split} \end{equation}
    이다.
  3. X=YX=Y이면
    Cov[X,Y]=E[(X−E[X])2]=Var[X]Cov[X,Y]=E[(X-E[X])^2]=Var[X]
    이다.
  4. 기댓값은 선형 연산이므로
    E[Z]=E[X+Y]=E[X]+E[Y]E[Z]=E[X+Y]=E[X]+E[Y]
    이다.

따라서 1번이 옳지 않다.

7번

  1. 독립인 가우시안 랜덤변수들의 합은 가우시안 랜덤변수이다.
  2. 평균이 00인 가우시안의 제곱의 합의 제곱근은 레일리 확률 밀도 함수를 갖는다. 평균이 00이 아니면 라이시안 확률 밀도 함수를 갖는다.
  3. 옳다.
  4. 평균은 00이 맞지만 분산은 L2L^2이다. 흩어진 값들을 더하니 더 흩어지는 것이다.

따라서 답은 4번이다.

8번

Yk=Xk∗12(δk−1+δk+1)=12(Xk−1+Xk+1)\begin{equation} \begin{split} Y_k&=X_k*\frac{1}{2}(\delta_{k-1}+\delta_{k+1})\\ &=\frac{1}{2}(X_{k-1}+X_{k+1}) \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

9번

  1. 주기 신호이므로 푸리에 변환하면 이산 스펙트럼으로 나타난다.
  2. 주엽의 폭은
    1τ\frac{1}{\tau}
    이므로 TT와는 상관없다.
  3. 옳다.
  4. 코사인 함수들의 합으로 나타날 것이므로 푸리에 계수는 실수가 된다.

따라서 2번이 옳지 않다.

10번

주어진 비트에 대한 다항식을 관찰해보면 비트를 오른쪽에서 왼쪽, 즉 0101과 같은 식으로 써야 한다. 출력 부호어 구하는 과정은 아래와 같다. 따라서 답은 4번이다.

11번

m(t)c(t)m(t)c(t)를 구한 후 주파수가 높은 쪽을 찾으면 1번만이 가능하다. 제대로 풀려면 코사인을 곱하면 스펙트럼의 높이는 절반으로 내려감을 고려하면 더 정확히 풀 수 있다.

12번

아날로그 음성 신호의 대역폭이 44 kHz이므로 샘플율은 이 두배인 88 kHz가 되어야 한다. 각 신호는 88비트로 양자화 및 부호화되므로 88을 곱하고, 마지막으로 3232채널로 전송하므로 이 값을 곱하면 계산 결과는

8×8×32=2.0488\times 8\times 32=2.048

이므로 답은 1번이다.

13번

C=Wlog2(1+SNR)C=Wlog_2{(1+SNR)}

이다. 주어진 조건들을 대입하면

40=Wlog2(1+31)=5W40=Wlog_2(1+31)=5W

이므로

W=8W=8

이다. 따라서 답은 4번 이다.

14번

I(X;Y)=H(X)−H(X∣Y)I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)

이고

H(X,Y)=H(X)+H(Y∣X)=H(Y)+H(X∣Y)H(X,Y)=H(X)+H(Y|X)=H(Y)+H(X|Y)

이다.

  1. 위로부터
    I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y)I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)
    이다.
  2. 상호 정보량은 XX와 YY를 교환해도 같을 것이므로
    I(X;Y)=I(Y;X)=H(Y)−H(Y∣X)I(X;Y)=I(Y;X)=H(Y)-H(Y|X)
    가 되어야 한다.
  3. 정보량은 00보다 크거나 같을 것이다.
  4. 옳다.

따라서 2번이 옳지 않다.

15번

에너지가 22인 점이 4개, 1818에 해당하는 점이 4개, 1010에 해당하는 점이 8개이므로 평균은

2⋅4+18⋅4+10⋅84+4+8=16016=10\frac{2\cdot 4+18\cdot 4+10\cdot 8}{4+4+8}=\frac{160}{16}=10

이다. 최고 에너지는 1818이므로

PAPR=18/10=1.8PAPR=18/10=1.8

이고 답은 1번이다.

16번

300300 Hz의 신호가 6060 kHz로 변조되려면 변조 지수는

β1=200\beta_1=200

이고, 1010 kHz의 신호가 6060 kHz로 변조되려면 변조 지수는

β2=6\beta_2=6

이다. 따라서

∣β1−β2∣=200−6=194|\beta_1-\beta_2|=200-6=194

이므로 답은 4번이다.

17번

  1. 그레이 코드의 특징상 인접 심벌 비트열 간의 해밍 거리는 항상 1이다.
  2. MSK의 주엽은 QPSK 대비 1.51.5배라고 한다. 이건 외우는 게 좋을 것 같다.
  3. 송신 신호 간 상관 계수가 낮아야 정합 필터의 출력에 의한 판정이 정확할 것이다.
  4. 롤 오프 율이 커질수록 천천히 스펙트럼이 작아지므로 주엽이 넓어진다.

따라서 3번이 옳지 않다.

18번

메시지 주파수가

fm=200π2π=100f_m=\frac{200\pi}{2\pi}=100

이고, 최대 주파수 편이는

12πmax(3⋅200πcos(200πt)+42˙00πsin(200πt))=max(300cos(200πt)+400sin(200πt))\frac{1}{2\pi}max(3\cdot 200\pi cos(200\pi t)+4\dot 200\pi sin(200\pi t))=max(300cos(200\pi t)+400sin(200\pi t))

인데, 피타고라스 정리를 사용하면

5⋅100=5005\cdot 100=500

이다. 따라서 카슨의 법칙을 적용하면

B=2(100+500)=1200B=2(100+500)=1200

이고 답은 3번이다.

19번

  1. 컨볼루션 부호에서는 현재 입력 비트와 과거 입력 비트가 전체 출력에 퍼져 있다. 따라서 부호기의 출력은 이전에 입력된 정보 비트에 영향을 받는다.
  2. 컨볼루션 코드에서는 입력 정보 비트와 잉여 비트가 명확히 구분되지 않는다. 그런 특성이 있는 것은 블록 부호이다.
  3. 옳다.
  4. 옳다.

따라서 2번이 옳지 않다.

20번

  1. 송신을 아무리 다양하게 해봤자 받는 쪽에서 하나만 받는 상황이므로 최대 전송률은 같을 것이다.

따라서 4번이 옳지 않다.