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2017 7급 서울시 전기자기학

1번

대칭성에 의해 전계는

E=ρl2πϵ0ρE=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0 \rho}

이다.

V=∫a+ba+cEdρ=∫a+ba+cρl2πϵ0ρdρ=ρl2πϵ0lnc+ab+a\begin{equation} \begin{split} V&=\int_{a+b}^{a+c} E d\rho\\ &=\int_{a+b}^{a+c}\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0\rho}d\rho\\ &=\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0}ln\frac{c+a}{b+a} \end{split} \end{equation}

이므로 답은 2번이다.

2번

전반사가 일어날 때 에너지 손실이 최소이다. 자유공간을 1, 유전체공간을 2라 하면 스넬의 법칙에 의해

n1sinθ1=n2sinθ2n_1sin\theta_1=n_2sin\theta_2

에서

θ1=90∘θ2=45∘\begin{gather} \theta_1=90^\circ\\ \theta_2=45^\circ \end{gather}

를 대입한다. 그리고

n1=1n2=ϵr\begin{gather} n_1=1\\ n_2=\sqrt{\epsilon_r} \end{gather}

임도 이용하자. 계산하면

1=ϵr12⇒ϵr=2\begin{gather} 1=\sqrt{\epsilon_r}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \Rightarrow \epsilon_r=2 \end{gather}

이므로 답은 1번이다.

3번

yy축으로 더 길기 때문에 가장 낮은 주파수는 m=0,n=1m=0,n=1일 때이다. 또한 이 때 가로축으로 14\frac{1}{4}파장이 들어가므로

a=cf4⇒f=c4a\begin{gather} a=\frac{\frac{c}{f}}{4} \\ \Rightarrow f=\frac{c}{4a} \end{gather}

이다. 또한 그리 간단하지 않은 과정을 거치면 TM모드의 기본 모드 주파수는 TE모드의 기본 모드 주파수보다 큼을 알 수 있다.(그냥 넘어가잔 뜻이다.) 따라서 답에 해당하는 것은 3번이다.

4번

v=Ldidt=L2−0.53=L2=4\begin{equation} \begin{split} v&=L\frac{di}{dt}\\ &=L\frac{2-0.5}{3}\\ &=\frac{L}{2}\\ &=4 \end{split} \end{equation}

이므로

L=8 mHL=8 \text{ mH}

이고 답은 3번이다.

5번

I=dQdtI=\frac{dQ}{dt}

이고,

I=2+2tI=2+2t

이다. 따라서

Q=2t+t2∣010=20+100=120\begin{equation} \begin{split} Q&=2t+t^2|_0^{10}\\ &=20+100\\ &=120 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 1번이다.

6번

E⃗=−∇V=−(2xyax⃗+x2ay⃗−az⃗)\begin{equation} \begin{split} \vec{E}&=-\nabla V\\ &=-(2xy\vec{a_x}+x^2\vec{a_y}-\vec{a_z}) \end{split} \end{equation}

이므로 주어진 점에서의 전기장은

E⃗∣(1,2,−2)=−(4ax⃗+ay⃗−az⃗)\vec{E}|_{(1,2,-2)}=-(4\vec{a_x}+\vec{a_y}-\vec{a_z})

이다. 따라서 이 점에서의 전기장의 크기는

42+12+12=18\sqrt{4^2+1^2+1^2}=\sqrt{18}

이므로 답은 2번이다.

7번

D⃗=ϵE⃗=ϵ0E⃗+P⃗\begin{equation} \begin{split} \vec{D}&=\epsilon\vec{E}\\ &=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P} \end{split} \end{equation}

인데, 이 의미는 음전하에서 양전하로 가는 분극으로 인한 전기장이 자유전하에 의한 전기력선 수를 감소시키는 것을 보충해야 자유전하에 의한 전기력선 수와 자유전하가 1:1 대응된다는 뜻이다. 분극 벡터에 대해 정리하면

P⃗=(ϵ0ϵr−ϵ0)E⃗\vec{P}=(\epsilon_0\epsilon_r-\epsilon_0)\vec{E}

이다. 한편

D=10×10−3100×(10−3)2=100\begin{equation} \begin{split} D&=\frac{10\times 10^{-3}}{100 \times \left(10^{-3}\right)^2}\\ &=100 \end{split} \end{equation}

이다. 따라서

D=5ϵ0E⇒ϵ0E=20\begin{gather} D=5\epsilon_0 E\\ \Rightarrow \epsilon_0 E=20 \end{gather}

이므로

P=4ϵ0E=80\begin{equation} \begin{split} P&=4\epsilon_0 E\\ &=80 \end{split} \end{equation}

이고 답은 4번이다.

8번

커패시턴스는 비유전상수 및 면적에 비례하고 간격에 반비례한다. 따라서 영향들을 종합하면

2⋅32=3\frac{2\cdot 3}{2}=3

배이므로 변화된 커패시턴스는

2⋅3=62\cdot 3=6

이다.

9번

2번만이 방향을 갖고 있으므로 벡터량이다.

10번

δ=1πfμσ=1π⋅107⋅4π⋅10−7⋅1=12π\begin{equation} \begin{split} \delta&=\frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{\pi \cdot 10^7 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1}}\\ &=\frac{1}{2\pi} \end{split} \end{equation}

이므로 2번이 답이다.

11번

경계에 평행한 전계 성분은 같아야 하므로

52=32EB⇒EB=53\begin{gather} \frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}E_B\\ \Rightarrow E_B=\frac{5}{\sqrt{3}} \end{gather}

이므로 답은 1번이다.

12번

전하량 QQ가 충전되어 있을 때 두 지점 사이의 전압은 도체 내의 전위차가 없음을 고려하면

V=−∫2aaQ4πϵ0r2dr=Q4πϵ01r∣2aa=Q4πϵ0(1a−12a)\begin{equation} \begin{split} V&=-\int_{2a}^a \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2} dr\\ &=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left.\frac{1}{r}\right|_{2a}^a\\ &=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{2a}\right) \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 커패시턴스는

C=QV=4πϵ01a−12a=8πϵ0a\begin{equation} \begin{split} C&=\frac{Q}{V}\\ &=\frac{4\pi\epsilon_0}{\frac{1}{a}-\frac{1}{2a}}\\ &=8\pi\epsilon_0a \end{split} \end{equation}

이므로 답은 4번이다.

13번

구의 커패시턴스는

V=Q4πϵ0rV=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}
⇒C=QV=4πϵ0r\begin{equation} \begin{split} \Rightarrow C&=\frac{Q}{V}\\ &=4\pi\epsilon_0 r \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 왼쪽의 커패시턴스는

C1=4πϵ0a1C_1=4\pi\epsilon_0 a_1

이고 오른쪽의 커패시턴스는

C2=4πϵ0a2C_2=4\pi\epsilon_0 a_2

이다. 이 둘은 완전도체로 연결되어 전위가 같으므로

Q1=C1VQ2=C2V\begin{gather} Q_1=C_1V\\ Q_2=C_2V \end{gather}

이고

Q1+Q2=QQ_1+Q_2=Q

이다. 또한 두 커패시터는 병렬 연결된 것과 같다. 따라서

4πϵ0(a1+a2)V=Q4\pi\epsilon_0(a_1+a_2)V=Q

이고

4πϵ0a1V=Q14πϵ0a2V=Q2\begin{gather} 4\pi\epsilon_0a_1V=Q_1\\ 4\pi\epsilon_0a_2V=Q_2 \end{gather}

에서

Q1=Q⋅a1a1+a2Q2=Q⋅a2a1+a2\begin{gather} Q_1=Q\cdot \frac{a_1}{a_1+a_2}\\ Q_2=Q\cdot \frac{a_2}{a_1+a_2} \end{gather}

이므로 답은 3번이다.

14번

W=12LI2=124×10−6=10−8\begin{equation} \begin{split} W&=\frac{1}{2}LI^2\\ &=\frac{1}{2}4\times 10^{-6}\\ &=10^{-8} \end{split} \end{equation}

이므로

L=0.5×10−2=5×10−3\begin{equation} \begin{split} L&=0.5\times 10^{-2}\\ &=5\times 10^{-3} \end{split} \end{equation}

이고 답은 4번이다.

15번

∂D∂t=ϵ0ϵr∂E∂t=400ϵ0ωcosωt\begin{equation} \begin{split} \frac{\partial D}{\partial t}&=\epsilon_0\epsilon_r\frac{\partial E}{\partial t}\\ &=400\epsilon_0\omega cos\omega t \end{split} \end{equation}

이므로 답은 4번이다.

16번

A⃗⋅B⃗∣A⃗∣=2−12+322+62+32=−77=−1\begin{equation} \begin{split} \frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{\left|\vec{A}\right|}&=\frac{2-12+3}{\sqrt{2^2+6^2+3^2}}\\ &=\frac{-7}{7}\\ &=-1 \end{split} \end{equation}

이므로 답은 1번이다.

17번

Hl=NIHl=NI

이고

Φ=NBS=μN2ISl\begin{equation} \begin{split} \Phi&=NBS\\ &=\frac{\mu N^2IS}{l} \end{split} \end{equation}

이므로

L=ΦI=μN2Sl\begin{equation} \begin{split} L&=\frac{\Phi}{I}\\ &=\frac{\mu N^2S}{l} \end{split} \end{equation}

이다. 따라서 권수를 22배로 하면 단면적을 14\frac{1}{4}배로 하거나, 평균자로의 길이를 44배로 해야 한다. 이에 해당하는 보기는 1번이다.

18번

Q2Q_2가 받는 힘의 크기는

F2=F1=82+82+42=144=12\begin{equation} \begin{split} F_2=F_1&=\sqrt{8^2+8^2+4^2}\\ &=\sqrt{144}\\ &=12 \end{split} \end{equation}

이므로 Q2Q_2가 Q1Q_1에 미치는 전기장의 크기는

12300=0.04\frac{12}{300}=0.04

이다. 한편, 두 점 사이의 거리는

(1−3)2+(−1+3)2+(−3+2)2=4+4+1=3\begin{equation} \begin{split} \sqrt{(1-3)^2+(-1+3)^2+(-3+2)^2}&=\sqrt{4+4+1}\\ &=3 \end{split} \end{equation}

이다. 그리고

Q1E2=Q2E1Q_1E_2=Q_2E_1

이므로

Q2=300⋅0.04E1Q_2=\frac{300\cdot 0.04}{E_1}

이다. 이들로부터

E1=3004πϵ0⋅32=300×109\begin{equation} \begin{split} E_1&=\frac{300}{4\pi\epsilon_0\cdot 3^2}\\ &=300\times 10^9 \end{split} \end{equation}

이므로

∣Q2∣=40|Q_2|=40

이다. 한편 인력이 작용하므로 전하의 부호는 반대여야 한다. 따라서

Q2=−40Q_2=-40

이므로 답은 3번이다.

19번

W=12∑iQiViW=\frac{1}{2}\sum _{i} Q_iV_i

이다. Q1Q_1에 의해 P2P_2에 생기는 전위는

V2=Q14πϵ0(−2−1)2+(1−33)2+(5+1)2=3⋅9×1037\begin{equation} \begin{split} V_2&=\frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{(-2-1)^2+(1-33)^2+(5+1)^2}}\\ &=\frac{3\cdot 9\times 10^3}{7} \end{split} \end{equation}

이므로

Q2V2=27×10−3Q_2V_2=27\times 10^{-3}

이다. 다음으로 Q2Q_2에 의해 P1P_1에 생기는 전위는

V1=Q24πϵ0(−2−1)2+(1−33)2+(5+1)2=7×103⋅97\begin{equation} \begin{split} V_1&=\frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{(-2-1)^2+(1-33)^2+(5+1)^2}}\\ &=\frac{7\times 10^{3}\cdot 9}{7} \end{split} \end{equation}

이므로

Q1V1=27×10−3Q_1V_1=27\times 10^{-3}

이다. 따라서

W=27+272=27\begin{equation} \begin{split} W=&\frac{27+27}{2}\\ &=27 \end{split} \end{equation}

이고 답은 4번이다.

20번

반발력이 생긴다면 바깥쪽 영역의 자기장은 상쇄되고 가운데 영역의 자기장은 합쳐져서 커져야 한다. 따라서 서로 반대방향으로 흐름을 우선 알 수 있다. 다음으로 F=BIF=BI에서

4×10−7=μ0I2π⋅12×I=10−7I2\begin{equation} \begin{split} 4\times 10^{-7}&=\frac{\mu_0I}{2\pi\cdot 1^2}\times I\\ &=10^{-7}I^2 \end{split} \end{equation}

이므로

I=2I=\sqrt{2}

이고 답은 3번이다.